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1、达标训练基础巩固1.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列那幅图(26.3-9)刻画( )思路解析：被踢出的足球运动路径为抛物线.答案：B2.一位篮球 运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分.下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度 h(米) 与时间 t(秒) 之间变化关系的是( )思路解析：投出的篮球运动路径为抛物线.答案：D3.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 1.9 米，当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5.5 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析：先建立坐标系
2、，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线与 x 轴的交点坐标(横坐标为正) ，若这点的横坐标大于 18，就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为 x 轴，建立直角坐标系(如图).由于其图象的顶点为(9,5.5)，设二次函数关系式为 y=a(x-9)2+5.5(a0)，由已知，这个函数的图象过(0,1.9)，可以得到 1.9=a(0-9)2+5.5.解得 .452a所以，所求二次函数的关系式是 y= (x-9)2+5.5.45排球落在 x 轴上，则 y=0，因此， (x-9)2+5.5=0.解方程，得 x1=9+ 20.1，x 2=9- (负值，不合题意，舍去).
3、2533所以，排球约在 20.1 米远处落下，因为 20.118，所以，这样发球会直接把球打出边线.4.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图 26.3-9 所示，大门地面宽 AB=4 m，顶部 C 离地面高度为 4.4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2.8 m，装货宽度为 2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.图 26.3-9思路解析：建立适当的坐标系可以简化解题步骤.先建立如图 26.3-13.2的坐标系，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线上纵坐标为 2.8 的点之间的距离，若这个距离大于汽车装货宽度，就可判断汽车能顺利通过大门.解：如图，以大门地面的
4、中点为原点，大门地面为 x 轴，建立直角坐标系.根据对称性，设二次函数关系式为 y=a(x+2)(x-2)(a0)，由已知，这个函数的图象过(0,4.4)，可以得到 4.4=a(0+2)(0-2).解得 a=-1.1.所以所求二次函数的关系式是 y=-1.1x2+4.4.当 y=2.8 时，有 -1.1x2+4.4=2.8.解方程，得 x11.21， x2-1.21.因为 21.212.4,所以，汽车能顺利通过大门.5.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高 2.4 米，与球圈中心的水平距离为 7 米，当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米.设篮球运行轨迹为抛物线，球 圈距
5、地面 3 米，问此球是否投中(假设球圈直径为 45 cm，篮球的直径为 25 cm，篮球偏离球圈中心 10 cm 以内都能投中)？思路解析：建立坐标系，用函数观点判断球圈中心点是否在抛物线上.解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为 x 轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4)，设二次函数关系式为 y=a(x-4)2+4(a0)，由已知，这个函数的图象过(0,2.4)，可以得到 2.4=a(0-4)2+4.解得 a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是 y=-0.1(x-4)2+4.当 x=7 时， y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为 3.1=
6、3+0.1，0.1 在篮球偏离球圈中心 10 cm 以内.答：这个球能投中.综合应用6.(2010 安徽模拟) 如图 26.3-10，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a0)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B 、C，则 ac 的值是_.图 26.3-10思路解析：图中，正方形和抛物线都关于 y 轴对称，欲求 ac 的值，需求抛物线的解析式，点 A、B、C 都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关，可设正方形的边长为 2m，则 A(0， )、B(m2， )、C( ， )，把 A、B 的坐标值代入 y=ax2+c 中，m2m2得 a= ， ，所以 .c22mac答案：27.有
7、一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1 000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但放养一天需各种费用 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克 20 元.(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 x 的函数关系式；(2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1 000 千克蟹的销售总额 Q 元，写出 Q 关于 x
8、的函数关系式；(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本- 费用) ？最大利润是多少？思路解析：(1)市场价每天上升 1 元，则 P=30+x；(2)销售总额为 活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活 蟹数量每天减少10 千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可设利润为 w 元，用函数性质解决 .答案：(1)P=30+x.(2)Q=(30+x)(1 000-10x)+2010x=-10x2+900x+30 000.(3)设利润为 w 元，则w=(-10x2+900x+30 000)-301 000-400x=-10(x-25)2+6 250.
9、-100，当 x=10 时，函数有最小值，最8181小值为 12.5.120)的函数关系式；(2)求出图 中表示的种植成本单价 z(元)与上市时间 t(天)(t0)的函数关系式；(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500 克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函数表示市场销售单价，种植成本是一段抛物线，再分别计算各时段的纯收益单价，比较得出结论.解：(1) 当 0x120 时，y = +160；x32当 120x150 时，y=80；当 150x180 时，y= +20.x5(2)设 z=a(x
10、-110)2+20,把 x=60，y= 代入， =a(60-110)2+20,解得 .38 301a所以 (x-110)2+20，即 (0x180).01z 81530xz(3)设纯收益单价为 w(元)，则当 0x120 时，w=( x+160)-( )= (x-10)323185012x02+100， ,当 x=10 时，w 有最大值，最大值为 100(元).031当 120x150 时，w=80-( )= (x-110)2+60，31853012x0 ,当 x=110 时，w 有最大值，最大值为 60(元).0当 150x180 时，w=( x+20)-( )= (x-170)512x31
11、2+56， ,当 x=170 时，w 有最大值，最大值为 56(元).031综上所述，第 10 天上市的绿茶纯收益单价最大.回顾展望10.(2010 湖北武汉模拟) 连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥，它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉 的一道靓丽景观.桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的) 与拱肋用垂直于桥面的系杆连 接，相邻系杆之间的间距均为 5 米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度 AB 为 280 米，距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米.以 AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面
12、直角坐标系.图 26.3-12- 图 26.3-12-(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？请说明理由.思路解析：(1)根据抛物线的对称性，设抛物线的解析式为y=ax2+c，由点 A(或点 B)和 EF 的位置坐标，列出方程组，求出解析式.(2)OC 的长由抛物线与 y 轴交点可以得到.图中系杆的横坐标都应该是 5 的整数，判断图象上纵坐标为 OC长一半的点的横坐标是否是 5 的倍数.令函数式的值为 OC 长的一半，列方程解出对应的 x 值，再进行判断.解：(1) 设抛物线的解析式为 y=ax2+cB(140,0)，E(
13、70,42)， 解得 a= ,c=56.704,12c3501y= x2+56.3501(2)当 x=0 时，y= x2+56=56.O C=56(米).3501设存在一根系杆的长度是 OC 的一半，即这根系杆的长度是 28 米.则 28= x2+56，解得 .27x相邻系杆之间的间距均为 5 米，最中间系杆 OC 在 y 轴上，每根系杆上的点的横坐标均为整数. 与实际不符.270x不存在一根系杆的长度是 OC 的一半.11.(福建南平模拟) 某公司年 13 月的月利润 y(万元)与月份 x 之间的关系如图所示 26.3-13 图中的折线可近似看作是抛物线的一部分.图 26.3-13(1)根据
14、图象提供的信息，求出过 A、B、C 三点的二次函数关系式；(2)公司开展技术革新活动，定下目标：今年 6 月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6 月份公司预计将达到多少万元？(3)如果公司 1 月份的利润率为 13%，以后逐月增加 1 个百分点.已知6 月上旬平均每日实际销售收入为 3.6 万元，照此推算 6 月份公司的利润是否会超过(2)中所确定的目标？(成本总价=利润利润率，销售收入=成本总价 +利润)思路解析：先根据图象用待定系数法求出月利润与月份之间的函数关系式，再根据解析式计算.计算图象中 6 月份的利润，计算按 1 个百分点增长的利润，比较大小.解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=ax2+bx+c，依题意，得.639,424cba解得 a= ，b=- ，c=3.1y 与 x 之间的函数关系式为 y= x2- x+3.1(2)当 x=6 时，解得 y=18.预计 6 月份的利润将达到 18 万元.(3)6 月份的利润率为：13%+51%=18%.6 月份的实际销售收入为：3.630=108(万元).解法一：设 6 月份的实际利润为 x 万元，依题意，得 +x=108.18.0x解得 x16.7(万元).16.718,6 月份的利润不会达到原定目标.解法二：6 月份预计销售收入： +18=118(万元).18.0108118,6 月份的利润不会达到原定目标.
