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1、2011 年中考数学压轴题复习讲义动点问题详细分层解析（七）专题七、2011 中考数学热点专题突破训练动点问题 动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=4cm，A=60，BDAD. 一动点 P 从 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使 PMAD.1当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求APE 的面积；2当点 P 运动 2
2、 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 AB 的路线运动，且在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀速运动， （当 P、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过 Q 作直线 QN，使 QNPM，设点 Q 运动的时间为 t 秒（0t8） ，直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为S（cm2）. （1）求 S 关于 t 的函数关系式；（2）求 S 的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点 P 为动点，所走的路线为：ABC 速度为 1cm/s。而 t=2s，故可求出AP 的值
3、，进而求出APE 的面积.略解：由 AP=2 ， A=60得 AE=1，EP= . 因此 .2.分析：两点同时运动，点 P 在前，点 Q 在后，速度相等，因此两点距出发点 A 的距离相差总是 2cm.P 在 AB 边上运动后，又到 BC 边上运动.因此 PM、QN 截平行四边形ABCD 所得图形不同.故分两种情况：（1） 当 P、Q 都在 AB 上运动时，PM 、QN 截平行四边形 ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时 0t6. 当 P 在 BC 上运动，而 Q 在 AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时 6t8.略解：当 P、Q 同时在
4、 AB 边上运动时，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF= t,QF= t,AG= (t+2), 由三角函数 PG= (t+2),FG=AG-AF= (t+2)- t=1.S = (QF+PG)FG= t+ (t+2)1= t+ . 当 6t8 时，S=S 平行四边形 ABCD-SAQF-SGCP.易求 S 平行四边形 ABCD=16 ,SAQF= AFQF= t2.而 SCGP= PCPG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式 可得PG= (10-t).SCGP= PCPG= (10-t) (10-t)= (10-t)2. S=16 - t2- (10-t)2= (6t8
5、分析:求面积的最大值时 ,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出 0t6和 6t8 时的最大值. 0t6 时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积 S 随 t 的增大而增大.当 6t8 时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于 所以 t=6 时，S 最大 ；由于 S (6t8,所以 t=8 时，S 最大=6 .综上所述, 当 t=8 时，S 最大=6 .例 2如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点C 的坐标为(4,0)， AOC=60，垂直于 x 轴的直线
6、 l 从 y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点M、N(点 M 在点 N 的上方).1.求 A、B 两点的坐标；2.设OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒(0t6)，试求 S 与 t 的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求 A、B 两点的坐标.解：四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为(4,0)，OA=AB=BC=CO=4.如图，过点 A 作 ADOC 于 D.AOC=60，OD=2，AD=.A(2, )，B（6, ）.2.分
7、析：直线 l 在运动过程中，随时间 t 的变化，MON 的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形 OABC 的两边相交有三种情况： 0t2 时，直线 l 与 OA、OC 两边相交( 如图). 2t4 时，直线 l 与 AB、OC 两边相交(如图). 4t6 时，直线 l 与 AB、BC 两边相交( 如图).略解：MN OC，ON=t. MN=ONtan60= .S= ONMN= t2.S= ONMN= t2 = t. 方法一：设直线 l 与 x 轴交于点 H.MN
8、2 - (t-4)=6 - t,S= MNOH= (6 - t)t=- t2+3 t.方法二：设直线 l 与 x 轴交于点 H.S=SOMH-SONH， S= t2 - t (t-4)=- t2+3 t.方法三：设直线 l 与 x 轴交于点 H.S= ,=42 =8 , = 2 (t-2)= t-2 ,= 4 (t-4)=2 t-8 , = (6-t)(6-t)=18 -6 t+ t2, S=8 -( t-2 )-(2 t-8 )-(18 -6 t+ t2)=- t2+3 t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由 2 知，当 0t2 时，
9、= 22=2 ；当 2t4 时， =4 ； 当 4t6 时，配方得 S=- (t-3)2+ ， 当 t=3 时，函数 S- t2+3 t 的最大值是 .但 t=3 不在 4t6 内，在 4t6 内，函数 S- t2+3t 的最大值不是 .而当 t3 时，函数 S- t2+3 t 随 t 的增大而减小，当 4t6 时，S4 . 综上所述，当 t=4 秒时， =4 . 练习 1 如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB3，AD5若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿 ABCD 的路线作
10、匀速运动当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；设 P 点运动时间为 t（秒）.当 t5 时，求出点 P 的坐标；若OAP 的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量 t 的取值范围） 解:（1）P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间（3+5+3）111（秒）.（2）当 t5 时，P 点从 A 点运动到 BC 上，此时 OA=10,AB+BP=5，BP=2. 过点 P 作 PEAD 于点 E，则 PE=AB=3,AE=BP=2. OE=OA+AE=10+2=12.点 P 的坐标为（12，3）
11、分三种情况：当 0t3 时，点 P 在 AB 上运动，此时 OA=2t,AP=t， s= 2tt= t2.当 3t8 时，点 P 在 BC 上运动，此时 OA=2t， s= 2t3=3 t.当 8t11 时，点 P 在 CD 上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t， DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t.s= 2t(11- t)=- t2+11 t.综上所述，s 与 t 之间的函数关系式是：当 0t3 时， s= t2；当 3t8时，s=3 t；当 8t11 时， s=- t2+11 t . 练习 2如图，边长为 4 的正方形 OABC 的顶点 O 为坐标原
12、点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上动点 D 在线段 BC 上移动（不与B，C 重合） ，连接 OD，过点 D 作 DEOD，交边 AB 于点 E，连接 OE （1）当 CD=1 时，求点 E 的坐标；（2）如果设 CD=t，梯形 COEB 的面积为 S，那么是否存在 S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时 t 的值；若不存在，请说明理由解：(1) 正方形 OABC 中，因为 EDOD，即ODE =90，所以 COD=90-CDO，而 EDB =90-CDO，所以 COD =EDB.又因为 OCD=DBE=90，所以 CDOBED.所以 ，即 ，BE= ，则 .因
13、此点 E 的坐标为（4， ） (2) 存在 S 的最大值 由于CDO BED，所以 ，即 ，BE=t t2.4(4t t2) 故当 t=2 时， S 有最大值 10 1、 （09 包头）如图，已知 ABC 中， 10厘米， 8BC厘米，点 D为 AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， P 与 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与 全等？（2）若点 Q
14、以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 AC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条边上相遇？解：（1） 1t秒， 3BPQ厘米， 0A厘米，点 D为 AB的中点， 5厘米又 8C， 厘米， 83厘米， PB又 ， ， DQ （4 分） Pv， BC，又 ， ，则 45BPCQBD， ，点 P，点 Q运动的时间43t秒，AQCDB P5143QCvt厘米/秒 （7 分）（2）设经过 x秒后点 P与点 Q第一次相遇，由题意，得1532104，解得803x秒点 P共运动了8厘米 8024，点 、点 Q在 AB边上相遇，经过 3
15、秒点 P与点 第一次在边 AB上相遇 （12 分）2、 （09 齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点 PQ、 同时从O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段 O运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P沿路线 B 运动（1）直接写出 、 两点的坐标；（2）设点 Q的运动时间为 t秒， P 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点 的坐标，并直接写出以点 OPQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标解（1）A（8，0）B（0，6） 1 分（2） 6O，点 Q由 到 的时间是81（秒）点 P的速度是602（单位/秒） 1 分当 在线段 OB上运动（或 0 3t ）时， 2OQtPt，2St1 分xAO QPBy当 P在线段 BA上运动（或 38t ）时， 61026OQtAPtt， ,如图，作 DO于点 ，由PDB，得485t， 1 分213425SQPt
