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1、257习题 1616-1如图所示，金属圆环半径为 R，位于磁感应强度为 的均匀磁Bv场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端 a、b 间的电势差。解：（1）由法拉第电磁感应定律 ，考虑到圆环内的磁通idt量不变，所以，环中的感应电动势 ；0i（2）利用： ，有： 。()abvBdl2abBvR【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】16-2如图所示，长直导线中通有电流 ，在与其相距AI0.5cm5.0d处放有一矩形线圈，共 1000 匝，设线圈长 ，宽 。c4l2a不计线圈自感，若线圈以速度 沿
2、垂直于长导线的方向向右m/s.3v运动，求线圈在图示位置时的感应电动势。解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。首先用 求出电场分布，易得： ，0lBdIv02IBr则矩形线圈内的磁通量为： ，00ln2xaIIxaldr由 ，有：idNt01()iNIlxat当 时，有： 。x04.922()iIlvVd解法二：利用动生电动势公式解决。由 求出电场分布，易得： ，0lBdIv02IBr考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，近端部分： ，1Nlv远端部分： ，2B则： 。120 041()1.9202()INIalvlvVdad16-3电流为 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为 ，
3、I oAOB258几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度 平行于长直v导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。解法一：（用等效法）连接 、 ，圆弧形导线与 、AOBAOB形成闭合回路，闭合回路的电动势为 0，所以圆弧形导线电动势与直导线的电动势相等。AOB，200() ln2RIvIvvdldx，50025() l4ROBIIl 。0lnABOBIv解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为 ，那么， ，再由 有：0002(cos)2(cos)IIIxRR()vBdl， 。sindBv 030 in()Ivd 05ln2I16-4电阻为 的闭合线圈折成半径
4、分别为 和 的两个圆，如a2图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按的规律变化。已知 ， ，0sintcm10T1020B， ，求线圈中感应电流的最大值。rad/510R解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。，220(4)3cosi Baattt203cosi tIR。ABaI 32202max 104.9150.5 16-5匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图 a、b、c、d所示的固定转轴旋转，如图 16-43 所示。证明：四种情况下线圈中感应电流的最大值相等。解：由法拉第电磁感应定律， ，其中 ， 为线圈平面的法线方tdmcosBSAOB259
5、向与磁场 B 的夹角。则电动势的大小为 ， 为线圈旋转的角速度sindmBSt大小。电动势的最大值为 ，电流的最大值为 ，R 为线圈的电阻。maxBSax/对于题设的四种情况，因线圈的面积相同，旋转角速度相同，则四种情况下的最大电流均相同。16-6如图所示，半径为 的长直螺线管中，有 的磁场，一直导线弯成等腰梯形的a0dt闭合回路 ，总电阻为 ，上底为 ，下底为 ，求：（1） 段、 段和闭ABCDRa2ADBC合回路中的感应电动势；（2） 、 两点间的电势差 。BCCBU解：（1）首先考虑 ， ，O21324ADS ，4ddattt感 1而 DAlAOODADDAElEldlElvvv涡 涡
6、涡 涡 涡感 ；234ADdBat再考虑 ，有效面积为 ， ，C213OADSa扇 26dBat感同理可得： ；26Bdat那么，梯形闭合回路的感应电动势为： ，逆时针方向。23()64BCADdat（2）由图可知， ，所以，梯形各边每段 上有电阻 ，ACDa 5Rr回路中的电流： ，逆时针方向；23()64dIRt那么， 。232()510BCBCBCdBUrIat16-7圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为 ，高为 ，Rh电阻率为 ，如图所示。若匀强磁场以 （ 为恒量）dkt，的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。解：在圆柱体内任取一个半径为 ，厚度为 ，高为 的小圆柱通壁，rr有
7、： ，即： ，2ldBEtv涡 22Bkrdt涡由电阻公式 ，考虑涡流通过一个 环带，如图，lRSr 涡 流260有电阻： ，2rRhd而热功率： ，22 3()khPi rdr 。224308Rkhrd16-8一螺绕环，每厘米绕 匝，铁心截面积 ，磁导率 ，绕组中通有02cm0.302电流 ，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组mA.5中的电流在 内由 降低到 0，次级绕组中的互感电动势。s0.5解：已知 匝， ， ， 。4.n初 2N次 50814231Sm（1）由题意知螺绕环内： ，则通过次级线圈的磁链：BnI，NSI次 次 次 ；54428103106.
8、Mn HI次初（2） 。426.3.Vt初次16-9磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R 的圆形空间 B，一金属杆放在如图 14-47 所示中位置，杆长为 2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。当 时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。0dt解： ，而： ，acbcOababdt扇 形 ，ab2234dRBtdt， ；Obcbct221ttac2341RdBt ， ，即 从 。0dBtacac16-10一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有 N 匝，求此螺绕环的自感。解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：则 ，有：012()2NIBRrrSBdv26121 020 1l
9、nRNIhRIhdr利用自感定义式： ，有： 。LI201l16-11均匀磁场 被限制在半径 R =10 cm 的无限长圆柱空间Bv内，方向垂直纸面向里取一固定的等腰梯形回路 abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示设磁感强度以 dB /dt =1 T/s 的匀速率增加，已知 ，31，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方cm6Oba向答案： ，指向：沿 adcb 绕向V8.3解：大小： mV68.3d)sin21(dtBOaRtBSt 指向：沿 adcb 绕向。16-12一圆形线圈 A 由 50 匝细导线绕成，其面积为 4cm2，放在另一个匝数等于 100 匝、半径为 20
10、cm 的圆形线圈 B 的中心，两线圈同轴。设线圈 B 中的电流在线圈 A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈 B 中的电流以 50A/s 的变化率减小时，线圈 A 中的感生电动势的大小。解：设 B 中通有电流 ，则在 A 处产生的磁感应强度为：I0024BNIR（1）A 中的磁通链为： 。则： ，02ABANISSR 02ABBNSMIR 。747640511.802.MH （2） , 。0 64.28053.1ABNSddI VtRt43.10AV16-13如图，半径分别为 和 的两圆形线圈（ ） ，在 时共面放置，大圆形线baba0t圈通有稳恒电流 I，小
11、圆形线圈以角速度 绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为 ，求：R（1）当小线圈转过 时，小线圈所受的磁力矩的大小；o90（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。解：利用毕萨定律，知大线圈在圆心 处产生的磁感应强度为：O Rvcb daO 262，由于 ，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场，02IBba磁感应强度即为 ，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：02Ib，0cosSat小线圈的感应电流： ，201sinIdai tRtbR小线圈的磁矩： ，2(i)2mapiSt（1）由 ，有：MBv 4202sinsinmIapBt tb当 时： ；2t240IbR（2） Ad。424 2
12、3420 0 0220 01cossin 16IaIaIatt dbR Rb 16-14一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为 和 ，导体2圆柱的磁导率为 ，筒与圆柱之间充以磁导率为 的磁介质。电流 可由中心圆柱流出，1 2I由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。解：考虑到 和 ，可利用磁能的形式求自感。2mWLI2mBw由环路定理，易知磁场分布： 112 221()BrRIr则： 12mBWwdVdV单位长度的磁能为：，1 2120()()2RRIrIrrdl 2121ln64IR利用 ，有单位长度自感： 。/mLI 21ln8L16-15一电感为 ，电阻为 的线圈突然
13、接到电动势 ，内阻不计的电源H0.210V0上，在接通 时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；s（3）电池组放出能量的速率。263解：（1）利用磁能公式 及 电路通电暂态过程 ，21mWLIC()1)RtLIte有磁场总储能： ，22()()(1RRt tLtee对上式求导得储能增加率： ，2ttLdt将 ， ， ， 代入，有： ；2.0LH1R0V.1ts0.1()238tsdWJ（2）由 ，有线圈中产生焦耳热的速率：2dQPIt；代入数据有： ；22 2()(1)(1)RRt tLLIeet 0.1()52tsdQJ（3）那么，电池组放出能量的速率： ，(1)
14、RtLdEIet代入数据有： 。0.139tsdEJ16-16. 在一对巨大的圆形极板（电容 ）上，加上频率为 ，峰值为12.0CF50Hz的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。51.74V解：设交变电压为： ，利用位移电流表达式： ，cosmuUtDdqIt有： ，而 ，inDdICt2f 。1255250.740.61mmf A16-17一球形电容器, 内导体半径为 R1，外导体半径为 R2两球间真空. 在电容器上加电压，内球对外球的电压为 假设 不太大，以致电容器电场分布与静态场tUsin0情形近似相同，求两球间各处的位移电流密度，再计算通过半径为 r (R1 r R2) 的球面的总位移电流答案： ，00120cos)(rtRrv tRcos40120解：由静电学计算： 代表 r 方向单位矢量 0 024)(rqEv04)(tqU)21R210Rt012)(rRrEvv 0012sin)(rtUv264位移电流密度为 tEtDJvv000120cos)(rtURrv过球面的总位移电流 4dJSI t
