2 第二章 应力和应变

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1、12第二章 应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。2.1 应力的表述应力张量2.1.1 应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量 来规定。在 方nn向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，

2、用矢量表示。在 相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，),()zyxtntn方向相反，即 。 t 在垂直于平面方向的分量叫)(nt做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。在流体的情况下，没有剪应力， ，这里 P 是压强。pt上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量 在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于 平面的 xyz,牵引力来定义 ：（2.1）()()xyxzxxxyyyzzzzxyztttt在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。13图 2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面

3、上的力的牵引力矢量 。)(,)(ztyxt应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。14下面讨论下角标颠倒后与颠倒前的值的关系。我们考虑 xz 面上在 y 轴方向延伸单位长度 1 的小微元立方体，在 z 方向的边长为 ，在 x 方向的边长为z，如图所示，右边的 的外法线方向与 x 轴一致，因此沿 z 方向为正，而xxz左边的 的外法线方向与 x 轴相反，逆 z 方向为正。 的分析与此分析类似。xz zx绕 y 轴的顺时针转动力矩为 ，

4、逆时针旋转的力212zxzxzS矩为 ，由于弹性体内部的微元不可能发生转动，21xzxzzS因此两者必须相等，因此有 。类似地有： 。故应力张量xz,xyyz是对称的，即：（2.2）zyxzxzyxT应力张量只包含 6 个独立的要素，它们足以完全描述介质中一个给定点的应力状态。 2、任意一个面上的应力可以由应力张量表示一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。 为了说明这一问题，在 O 点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，斜截面的法线方向矢量为 n，它的三个方向余弦分别为 l， m 和 n。 设斜截面上的应力为 pn，i

5、，j 和 k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，p n 在坐标轴上的投影分别为 px, py, pz。则应力矢量可以表示为 pn = pxi+ py j+ pz k设 S 为 ABC 的面积，则 OBC=lS, OCA=mS, OAB=nSABC 的法线方向的单位矢量可表示为 n = l i+ m j + n k15微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件。由 x 方向的平衡，可得 0, 0xxxyxzFpSOBCAOB注意， 取负是因为外法线方向与作用面的方向相反。将公式,xyxz代入上式，有0xxyxzpSlmSn从而 xxyzl同理 yxyzzzplnm如果采用张量记号，则上述公式

6、可以表示为上式给出了物体内一点的 9 个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。任一个取向由 定义的平面，一个侧面作用于另一个侧面的牵引力为应力n张量与 的乘积，即：（2.3）zyxyzxzxyzyx nnttt )()( 这可以通过对由垂直于 的平面和 平面所围限的四面体（柯西四面体）,面上的力求和作出说明。简单地说，应力张量是给出相对于法向矢量 的牵引力矢量 t 的线性算子，n16从这个意义上来说，应力张量与任何特定的坐标系无关。在地震学中，我们几乎总是把

7、应力张量写成笛卡尔几何学里的一个 的矩阵。注意到对称的要求，3应力张量的独立参数由 9 个减少为 6 个，呈现为最一般形式的二阶张量（标量为零阶张量，矢量为一阶张量，等等） 。应力张量通常随在物质里的位置而变化，它是作用在固体里每一点的无限小的面上的力的度量。应力只给出了这些面由一边作用于另一边的力的度量，计量标准是单位面积上的力。然而，可能有其他力（如重力） 。这些力称为体力，计量标准是每单位体积或单位质量上的力。2.1.3 坐标变换如果一处的应力状态为 ，而其他元素为零，将其旋转 45 度12,后的应力状态为不同坐标系下的应力状态表示一点的应力分量不仅随着变形体中点的位置在改变，而且即使在

8、同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不一样。假设已知在坐标系 Oxyz中，弹性体中的某点的应力状态表示为：017zyxzxzyx则对于新的坐标系 Oxyz，这点的各应力分量是多少就是本小节讨论的问题。设新旧坐标系的方向余弦表如下：x y zx 1l 1m1ny 222z3l 33根据（2.3）可知，沿 的应力可以表示为：x1)(nmlxtzyzzyx此应力有三个分量，将其再投影到 方向即得到在新坐标系中的各分量,将应力x矢量与 点乘即可得到：1 1122111112xyxzx xzyzxyz yxzlitlmnmnl ll2 2222222 xxzy yxzzxyzyyxzjtlmn

9、mnl l l3 332233333 2xxzz yxzzxyzyyxzktlmnmnl l l1 2212121212112121xxzxy yxzzxy xyyzxzjtlmnmnl l nlnl182 3323232323223223xyxzyz xzyzxy xyyzxzlktlmnmnl l nlnl1 331313131331313xyzxz xzyzxy xyyzxzlktlmnmnl l nln所以 Nnmllnmll Tzyxzxzyxji 321332211由上面的分析可知一个斜面上的正应力可以表示为： zyxyzxzxyzyx n其剪应力为： 222)(nt2.1.4 主

10、应力和应力主轴对任何应力张量，总是可以找到一个方向 ，使得在垂直于 的面上，没nn有剪应力，也就是说， 沿 方向，在这种情况下：)(nt（2.4）0() I这里 I 是单位矩阵， 是标量（不要把这些值同后面将讨论的拉梅参数相混淆） 。这是一个本征值问题，只有（2.5）det0 I才有非零解。由于 是对称的，是实数，所以本征值也是实数。的左端为 的三次多项式，在线性代数中为矩阵的特征多项式。det0 I19令其等于零，得到三个本征值 的解。将这三个解分别代入（2.5）就321、可以得到相应于三个本正值 的本征矢量为 ，它们是正交)3(2)1(,n的，在弹性力学中称这三个方向为应力主轴。垂直于应力

11、主轴的平面叫做主平面。我们通过相似性变换，把 旋转到 的坐标系里：)3(2)1(,n（2.6）这里 是旋转的应力张量， 是主应力（与本征值 相等） ，NR 321、321,是本征矢量矩阵：（2.7）)3()2()1()3()2()(zzyyxxnN为归一化到单位长度的正交的本征矢量。1NT在 MATLAB 中矩阵的本征值和本征向量的求法为：X,D=eig(sigma);其中 sigma 为三维应力矩阵，X 为三个本征向量，D 为本征值矩阵。得到本征向量和本征值后，你可以采用 X*sigma*X 得到的结果验证是否是向量矩阵。如果 ，那么应力场处于流体静压状态，没有任何取向的面有剪321应力。在

12、流体的情况下，应力张量可写成：（2.8）P0这里 P 是压强。对于垂直应力不变的应力状态,其水平方向不同的应力状态可以表示为：，其主应力方程可以表示为 ，或者展开为zyx0 00zyxx，解这个方程可得到三个主应力为：022 xyxyxz 1 422 xyyxyx 210NTR20及 z32.1.1 应力值应力以单位面积上的力为计量单位，在国际单位制（SI）中的单位是： 21)(1牛 顿 米帕 斯 卡 pa回顾一下， 达因。另一个普遍采用的力的单位是巴：5201千 克 米 秒牛 顿 br5)(巴 Mpa118巴千 、G、Ma千 兆 帕巴兆 (0)如表 2.1 用参考模型 PREM（Dziewo

13、nski 和 Anderson，1981）所给出的值所示，在地球里压力随深度快速增大。在 400 公里的深度，压力达到13.4Gpa，在核幔边界达 136Gpa，在内核边界达 329 Gpa。与此对比，月球中心的压力仅为 4.8 Gpa， 相当于在地球 150 公里深度所达到的值 （ Latham 等人 ，1969） ，这是由于月球的质量小得多。表 2.1 地球内部压力与深度的关系深度（公里） 区 域 压力（Gpa）0-24 地 壳 0-0.624-400 上地幔 0.6-13.4400-670 过渡区 13.4-23.8670-2891 下地幔 23.8-135.82891-5150 外 核

14、 135.8-328.95150-6371 内 核 328.9-363.9这些压力是地球内部的流体静压力。深部的剪切应力值小得多，包括与地幔对流有关的应力和由地震波传播所产生的动态应力。静态应力可能存在于地壳上部脆性部分。测量地壳剪应力是现代研究的课题。应力的量级是有争议的问题，地壳应力可能在 100 巴和 1000 巴（10-100 Mpa）之间，在接近活动断层的区域，应力有降低的趋势（活动断层的作用降低了应力） 。2.2 应变张量2.2.1 位移场表示现在让我们来考虑怎样描述连续介质里点的位置的变化。任何一点与参考21时间 的相对位置都可以用一个矢量场来描述，即位移场为：0t（2.9）00u(r)=-这里 r 是现在的位置， 是参考点的位置。位移场是一个重要的概念，在这本0书中经常涉及到。它是位置变化的绝对度量。与此相对照，应变是位移场相对变化的局部度量，即位移场空间梯度的度量。应变与材料的变形或形状的变化有关，而与位置的绝对变化无关。例如，张应变是按照长度的相对变化来定义的。如果把一根 100 米长的细绳，一端固定，在另一端均匀地拉长到 101 米，那么沿细绳位移场从 0 变化到 1 米。依此，在绳的任何地方，应变场为 0.01（1%）的常数。