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1、平行四边形的判定 .220.1 平行四边形的判定 .320.2 矩形的判定 .8阅读材料 完美矩形 .1120.3 菱形的判定 .1220.4 正方形的判定 .15阅读材料 折纸中的平行四边形 .1720.5 等腰梯形的判定 .18小结 .20复习题 .20平行四边形的判定你见过这样的大门吗？它能伸缩自如，开启关闭十分方便你可以看到门上含有不少几何图形，其中有你所熟悉的平行四边形，有些还是一些特殊的平行四边形你能说出它们的名称吗？你知道为什么它们是这样一些图形吗？20.1 平行四边形的判定我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1 两组对边分别
2、平行且相等；2 两组对角分别相等；3 两条对角线互相平分那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定那么是否存在其他的判定方法？由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”你认为这个猜想成立吗？如图 2011，作一个两组对边分别相等的四边形图 20.1. 把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形下面我们证明这个结论已知： 如图 201
3、2 ，在四边形 ABCD 中，ADBC， ABDC求证： 四边形 ABCD 是平行四边形分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证ABDC， ADBC，因此需要连结对角线构造内错角证明 连结 AC， ADBC， ABDC， ACAC， ABC CDA（S SS.） ， 12， 34（全等三角形的性质） ，图 20.1.2 ABCD ， ADBC （内错角相等，两直线平行） ， 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”如图 2013，试作
4、一个有一组对边平行且相等的四边形图 20.1.3 我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形下面用逻辑推理的方法证明这个猜想已知： 如图 20 14，在四边形 ABCD 中，ABCD 且 ABCD求证： 四边形 ABCD 是平行四边形分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法证明 连结对角线 AC， ABCD ， 12（两直线平行，内错角相等） 又 ABCD， ACAC ， ABC CDA（S AS.） ， BCAD（全等三角形的性质） ， 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 由此我们得到平行四
5、边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形“平行且相等 ”常用符号 “ ”来表示如图 20 14，AB CD 且ABCD，可以记作“AB CD”，读作“AB 平行且等于 CD”例 1 如图 2015，在 ABCD 中，E、F 分别是对边 BC 和 AD 上的两点，且 AFCE ，求证： 四边形 AECF 为平行四边形分析 我们已经有了三种判定平行四边形的方法，图 20.1.4 图 20.1.5 根据已知条件有 AFCE，若运用现在得到的判定方法，只须证明 AFCE 证明 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC（平行四边形的对边平行） ，即 AFCE又 AFCE ， 四边形
6、 AECF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）思 考可以用其他方法证明吗？哪种方法较为简捷？练习1 在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？(第 1题 ) (第 2题 ) 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 M 和 N 分别是 AB 和 DC 上的中点，试证明四边形 BNDM 也是平行四边形由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线观察这样得到的图形是什么图形图 20.1.6 如图 2016，你还可以
7、作一个两条对角线互相平分的四边形和你的同伴交流一下，看看是否是平行四边形根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明已知： 如图 2017，在四边形 ABCD 中，对角线AC 和 BD 相交于点 O，AOCO， BODO求证： 四边形 ABCD 是平行四边形分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用 图 20.1.7 定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形思 考我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关
8、系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等” ，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形已知： 如图 201 8，四边形 ABCD 中，已知AC， B D 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形证明 在四边形 ABCD 中，ABC D 360（四边形的内角和等于 360） ，又AC， B D， ABAD180， ADBC， ABCD（同旁内角互补，两直线平行） ， 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：两组对角分别相等的四边形是平
9、行四边形例 2 如图 2019，在 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AECF，求证： 四边形 BFDE 是平行四边形分析 连结 BD，交 AC 于点 O，由于OBOD，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形 BFDE 是平行四边形最为恰当，根据题意只需证明 OEOF 证明 连结 BD，交 AC 于点 O 四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD， OAOC（平行四边形的对角线互相平分） AE FC， OE OF，图 20.1.8 图 20.1.9 四边形 BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 思 考现在我们总共学会了多少种判定
10、平行四边形的方法（包括定义）了？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有什么样的关系呢？练习1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知两条对角线相交于点 O， E、F、 G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形(第 1题 ) (第 2题 ) 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE、CF 分别是DAB、 BCD 的角平分线，试证明四边形 AFCE 是平行四边形 例 3 如图 20110， ABCD 中，AFCH ， DEBG，求证： EG 和 HF 互相平分分析 因为 EG 和 HF 是四边形 EFGH 的对角线，所以要证明 EG 和
11、HF 互相平分，可以转化成证明四边形 EFGH 是平行四边形证明 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， AC（平行四边形的对边相等，对角相等） DE BG，而 AE ADED ， CGCBGB， AE CG AFCH ， AEFCGH（S AS. ） ， EF GH同理 FGHE， 四边形 EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ， EG 和 HF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 图 20.1.0 例 4 已知： 如图 20111，线段 BC 和线段 BC 外一点 A求作： 以 A 为一顶点，以线段 BC 为一边的平行四边形分析 如果连结 AB，那么平行
12、四边形的两边已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点作法 1 连结 AB；2 分别以 A、C 为圆心，以 BC、AB 为半径作弧，两弧相交于点 D；3 连结 AD、CD那么四边形 ABCD 就是所求的平行四边形如果连结 AC，同理可作四边形 AEBC，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解练习1 延长ABC 的中线 AD 至 E，使得 DEAD ，那么四边形 ABEC 是平行四边形吗？为什么？(第 1题 ) 2 作 ABCD，使B 45，AB 2cm ，BC 3cm习题 2011 用两个全等的三角形，按照不同的方法拼成四边形,可以拼成几个不同的四边形?它们都是平行四边形吗？为
13、什么？2 四边形 ABCD 中，A 和B 互补，AC，求证四边形 ABCD 是平行四边形3 如图，A、B、E 在一直线上，ABDC， CCBE，试证明 AD=BC.(第 3题 ) 4 尽可能多地用各种不同的方法画出平行四边形图 20.1. 20.2 矩形的判定我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1 两条对角线相等且互相平分；2 四个内角都是直角这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？思 考矩形的性质“两条对角线相等且互相平分”中， “对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”
