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1、第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题 B（小学高年级组）-By 肖瑶如意一、 填空题（每小题 10 分，共 80 分）1. 算式 的值为（）46512()7【解析】 46512()709812536215这题我没考虑有没有简便算法，有那时间，直接做也做出来了2. 设 ab 和 ab 分别表示取 a 和 b 两个数的最小值和最大值，如， 34=3,34=4.那么对于不同的数 x，5（4（x 4 ） ）的取值共有（1）个。【解析】4（x4）这一步，不管 x 取值如何，结果都是 4,54=5，取值只有 1 个或者分情况讨论：x4X4=4x=454=5x4X4=444=454=5所以取值只有
2、1 个3. 里山镇到省城的高速路全长 189 千米，途径县城，里山镇到县城 54 千米。早上 8:30，一辆客车从里山镇开往县城，9:15 到达，停留 15 分钟后开往省城，11:00 到达。另有一辆客车于同天早上 8:50 从省城径直开往里山镇，每小时行驶 60 千米。那么两车相遇的时间为（10:08）【解析】为叙述方便，称里山镇开出的客车为甲，省城开出的客车为乙甲到达县城前,平均时速为 5445/60=72 千米甲离开县城后,平均时速为(189-54)1.5=90 千米/小时乙,从 8:50 到 9:30,共行了 6040/60=40 千米甲,从 8:30 到 9:30,共行了 54 千米
3、9:30,甲乙还相距 189-40-54=95 千米相遇还需 95(90+60)=19/30 小时=38 分钟9:30+0:38=10:4. 有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是 1:1.如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱体体积和长方体的体积的比值为（/8）【解析】高相同,体积比为 1:1,则底面积比为 1:1设方木底面边长为 a,加工成的圆柱底面半径为 m圆木底面半径为 b,加工成的长方体的底面边长为 na=b,(a/b)=m=a/4n=2b所求比值为 m:n=(a/b)8=/85. 用x 表示不超过 x 的最大整数,记x=x-x,则算式2012
4、013201.555的值为（）【解析】前两项,分别为 3/5 和 4/5从第三项开始,5 项一周期 ,分别为 0/5,1/5,2/5,3/5,4/52012+2012=4024(4024-2014)5=402（一共 402 个周期）原式=(3+4)/5+(1+2+3+4)/5402=6. 某个水池存有其容量的十八分之一的水。两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时 81 分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量。然后第二条注水管单独向水池注水 49 分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同。之后，两条注水管都继续向水池注水。那么两
5、条注水管还需要一起注水（）分钟，方能将水池注满。【解析】为叙述方便,称第一条为甲,第二条为乙49:81=(77):(99)甲乙工效比为 7:9(甲:乙=49*乙:81*甲甲:乙=7:9)第一次共同注水时间为(781+949)(7+9)=63 分钟第一共同注水量为 2/9-1/18=1/6剩余注水量为 1-1/18-1/62=11/18还需 11/181/663=231 分钟7. 有 16 位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘。每盘胜者积 1 分，败者积 0 分。如果和棋，每人各积 0.5 分。比赛全部结束后，积分不少于 10 分者晋级。那么本次比赛后最多有（）位选手晋级。【解析】一共 161
6、52=120 场比赛不论胜负,每场比赛总分增加 1 分,总分一共 120 分最理想的结果是 12010=12 人晋级即有 12 人，每人 10 分；其余 4 人，每人 0 分；但这种情况不可能出现的（哪怕排名最后的两人，互相之间的比赛，也会有人得分）那么就考虑 11 人的情况前 11 名称为“高手” ，余下 5 人，称为“鱼腩”高手之间的比赛，全平，每人得 0.510=5 分高手对鱼腩的比赛，高手全胜，每个高手再得 5 分这样，每个高手得分 5+5=10 分，正好全部晋级综上，最多有 11 人晋级PS:中国奥数群的上海- 闲人老师提供思路8. 平面内有 5 个点，其中任意 3 个点均不在同一条
7、直线上，以这些点为端点连接线段，则除这 5 个点外，这些线段至少还有（1 ）个交点。【解析】如图,至少 1 个二、 解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9能否用 540 个右图所示的 12 的小长方形拼成一个 6180 的大长方形，使得 6180 的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由。【解析】能.如图,每两列一组,每列都是奇数个星,180列,一共分成1802=90组前面89组,都与第一组一样,最后一组如图,这样,第1,3,5行都是89个星,第2,4,6行都是91个星,满足要求10已知100个互不相同的质数 , 记 ， 问: N被3除12310p,.2211
8、0p.N的余数是多少？【解析】质数除了3,其余的都可以表示为3k+1或3k-1的形式平方为9k6k+1,除以3的余数为1其中99个的平方和,除以3的余数为如果第100个是3,则N除以3余数为0如果第100个不是3,则N除以3余数为1所以答案为0或111王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分硬币的枚数是一分的 ，五分硬币的枚数是二分的 ，一角硬币3535的枚数是五分的 少7枚。王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数。35问这四种硬币各有多少枚？【解析】总币值在5000分10000分之间且为整百1角的增加7枚,正好都是3/5的关系,总币值在5070
9、分10070分之间且末两位为701分为1,则2分为3/55分为3/53/5=9/251角为9/253/5=27/1251分至少125枚,2分1253/5=75枚,5分753/5=45枚,1角453/5=27枚125+275+545+1027=77077011=84701分:12511=1375枚2分:7511=825枚5分:4511=495枚1角:2711-7=290枚12右图是一个三角形网格，由16个小的等边三角形构成。将网格中由三个相邻小三角形构成的图形称为“3-梯形”。如果在每个小三角形内填上数字19中的一个，那么能否给出一种填法，使得任意两个“3-梯形”中的三个数之和均不相同？如果能，
10、请举出一例；如果不能，请说 明理由。【解析】不能.3-梯形有27个数字和,最小为1+1+1=3,最大为9+9+9=27,一共27-3+1=24种抽屉原理,至少有2个3-梯形中三个数字之和相等三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b：1）ab；2）a+b是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；3）ab是一个五位数，且五个数字相同。【解析】11111=41271 a=271,b最小为417=287,最大为419=369经验证,不满足 b=271,a可能为41,82,123,164,205,246经验证,a=41,164, b=542,a可能为41,82,经验证,a=82, b=813,a可能为41,82,123,164经验证,a=123综上,满足要求的正整数a,b有:(41,271),(164,271),(82,542),(123,813)14记100个自然数x，x+1，x+2，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？【解析】a=100x+(1+2+99)=100x+4950a的末两位为50x最小,则a的位数尽量少,又要满足a的数字和等于50(50-5)9=5a=9999950x最小为(9999950-4950)100=99950
