《三角函数公式大全及其推导方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数公式大全及其推导方法（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如 Figure I, 在 ABC 中sin() co tan()1 cot se()c1 ()sinbbacabc对 边的 正 弦 值 ： 斜 边邻 边的 余 弦 值 ： 斜 边对 边的 正 切 值 ： 邻 边邻 边的 余 切 值 ： 对 边斜 边的 正 割 值 ： 邻 边斜 边的 余 割 值 ： 对 边备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究 sin、cos、tan。2. 额外的定义 2222sin(i)costatAcbC a BFigure I3. 简便计算公式 22
2、sincos(90)iin11tantat(90)sicobAboo证明： 2222901sinicoABCabcoQ在 中 ,证完 222 2sitancio1t1scsb4. 任意三角形的面积公式如 FigureII,Ca b hd eB c AFigure II12sin1 ( )2ABCSahbac两 边 和 其 夹 角 正 弦 的 乘 积5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。证明：如 Figure II,2222 222222(cos)(in)csi=)cosbdhaBBbacbBa证完6. 海伦公式证明：如 Figure II,
3、 224422224422224422244221sinco111ABCSababcacbabccabbab2216cccab222222=ABCabcabcabcabcabcabcabcsSasbc设 ：7. 正弦定理如 Figure III,c 为 ABC 外接圆的直径,sin2 iaAcrABCQ（ 为 的 外 接 圆 半 径 ）同理： , sinsi2bccBarACAcOB a CFigure III8. 加法定理(1) 两角差的余弦如 Figure IV, AOCB令 AO=BO=r点 A 的横坐标为 cosAxr点 A 的纵坐标为 iny点 B 的横坐标为 csBxr点 B 的纵
4、坐标为 iy222 2222 222222sinicossincosscosiincoisin1sABABxrrrrrr2incoisr yABO C x(-)Figure IV由余弦公式可得： 2222coscos1ABCABCrrr综上得： cossincos(2) 两角和的余弦 sicsnocoin(3) 两角和的正弦 sins90cinsico90csos(4) 两角差的正弦 sinicsnsicooii(5) 两角和的正切 sintancoiscosinscoicsini1costant(6) 两角差的正切 tantant1tatn9. 两倍角公式 2222222sin2sicosi
5、ncicosssin1ico1stancoinscoisnci1osta2n10. 积化和差公式 1sincosico2nsicosincsi1si2 1cos2cosscosinsin1cos2sinin1ssincoscso2co11. 和差化积公式(1)设：A=+, B=-,sinsinsiconsicosin2isn2icos2sinsiinnicossincoABABA 2ssi2cinAB(2)设： 22cos, si, abba22cosin122222inincoscoscosii bbaaa12. 其他常用公式 00sin36sincocotatasin9scoin1ta0t
6、asin9coscoin1ta0tasin9coscoin1ta0tasin18sicocota0tnsisic18ctantasisicotatan2190 cscos1iin不 存 在13. 特殊的三角函数值 015230645603571290sin 06412641cos 1232120tan 0 231 33N/A14. 关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中 x 用弧度计算135721002460sin!connxxxL推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R 为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
7、所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
8、cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用表示乘方，用 log(a)(b)表示以 a 为底，b 的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若 an=b(a0 且 a1)则 n=log(a)(b)基本性质：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得
9、(把定义式中的n=log(a)(b)带入 an=b)2.MN=M*N由基本性质 1(换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与 2 类似处理MN=M/N由基本性质 1(换掉 M 和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=
10、log(a)(M)-log(a)(N)4.与 2 类似处理Mn=Mn由基本性质 1(换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)综合两式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)
11、(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下由换底公式lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性质 4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如
12、下:由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()商的关系：tan=sin/coscot=cos/sin倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角 与- 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin（2
