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1、高等数学上册第六版课后习题详细答案第二章习题 211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔0 t内转过的角度为 从而转角 是 t的函数 (t) 如果旋转是匀速的 那么称 为该物体旋转的角速度 如果t旋转是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻 t0 的角速度？解 在时间间隔t 0 t0t内的平均角速度 为 )(故 t0 时刻的角速度为 )()(limlili 000 ttttt 2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度T 与时间 t 的函数关系为 TT(t) 应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度？解 物体在时间间隔t 0 t0t内 温度的改变量为TT(tt)T(t) 平均冷却速度
2、为 tt故物体在时刻 t 的冷却速度为 )()(limli00 tTtTtt 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数 成本函数 f(x)的导数 f(x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f(x)的实际意义 解 f(xx)f(x)表示当产量由 x 改变到 xx 时成本的改变量 表示当产量由 x 改变到 xx 时单位产量的成本 表示当产量为 x 时单位产量的成本xfffx)(lim)(04 设 f(x)10x2 试按定义 求 f (1) 解 xfx 200 )1(0)(1lim)1(li 2(li12xx5 证明(cos x)sin x 解 x
3、cos)cs(lim(cos0 xx2sin)si(2lim0xx si2i)si(l0 6 下列各题中均假定 f (x0)存在 按照导数定义观察下列极限 指出 A 表示什么 (1) Afxf)(lim0解 xAx)(0 )(li 00xfff(2) 其中 f(0)0 且 f (0)存在 xf)(li解 )()(lim0xAx(3) Ahffh)(li0解 )(0hxffxffh )()(li 00lim(m0f (x0)f (x0)2f (x0) 7 求下列函数的导数 (1)yx4 (2) 32(3)yx1 6(4) (5) 2x(6) 53y(7) 52x解 (1)y(x4)4x414x3
4、 (2) 312332)( xxy(3)y(x1 6)16x1 6116x 0 6 (4) 2322(5) 32)(1xxy(6) 515165163x(7) 616152)( xy8 已知物体的运动规律为 st3(m) 求这物体在 t2 秒(s) 时的速度 解 v(s)3t2 v|t212(米/秒) 9 如果 f(x)为偶函数 且 f(0)存在 证明 f(0)0 证明 当 f(x)为偶函数时 f(x)f(x) 所以 )0()(limli0lim0 00 fxfffx 从而有 2f (0)0 即 f (0)0 10 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率 x 32解 因为 y
5、cos x 所以斜率分别为 213cos1k1cosk11 求曲线 ycos x 上点 处的切线方程和法线方程式 ) ,3(解 ysin x 2sin故在点 处 切线方程为 )21,3()3(1xy法线方程为 )3(xy12 求曲线 yex 在点(01)处的切线方程 解 yex y|x01 故在(0 1)处的切线方程为y11(x0) 即 yx1 13 在抛物线 yx2 上取横坐标为 x11 及 x23 的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解 y2x 割线斜率为 42193)(yk令 2x4 得 x2 因此抛物线 yx2 上点(2 4)处的切线平行于这条割线 14
6、 讨论下列函数在 x0 处的连续性与可导性(1)y|sin x|(2) 0 1sin2解 (1)因为y(0)0 0)sin(lm|sinlli00xxyx |snlimli0x所以函数在 x0 处连续 又因为 1sinlm0|sin|il)0(li)( 00 xxxyyx i|im0而 y(0)y(0) 所以函数在 x0 处不可导 解 因为 又 y(0)0 所以函数在 x0 处连续 1sinl)(li20x又因为 01sinlmsil0)(lim02xxxyx所以函数在点 x0 处可导 且 y(0)0 15 设函数 为了使函数 f(x)在 x1 处连续且可导 a b 应1 )(2xbaf取什么
7、值？解 因为 f(1)ab 1lim)(li21xfx baxf)(lim)(li1所以要使函数在 x1 处连续 必须 ab1 又因为当 ab1 时 2li)(fx axxbaxbaf 1)(lim1)(lim1li)(所以要使函数在 x1 处可导 必须 a2 此时 b1 16 已知 求 f(0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？0 )(2f解 因为f(0) 10lim)(li0xxfxf(0) 20而 f(0)f(0) 所以 f (0)不存在 17 已知 f(x) 求 f (x) sin解 当 x0 时 f(x)x f (x)1 因为 f(0) 10sinlm0li0xf(0) 所以 f
8、 (0)1 从而i)(0fxf (x) 1cos18 证明 双曲线 xya2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a2 解 由 xya2 得 xy2xk设(x 0 y0)为曲线上任一点 则过该点的切线方程为 )(02x令 y0 并注意 x0y0a2 解得 为切线在 x 轴上的距 020xayx令 x0 并注意 x0y0a2 解得 为切线在 y 轴上的距 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200|21yxS习题 22 1 推导余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc xcot x 解 2sincossinco(t xx21 xcotsi
9、c)si(c22 求下列函数的导数 (1) 1745xy(2) y5x32x3ex (3) y2tan xsec x1(4) ysin xcos x (5) yx2ln x (6) y3excos x (7) ln(8) l2x(9) yx2ln x cos x (10) tsco1in解 (1) )1274()1274( 455 xxx 6680820(2) y(5x32x3ex)15x22x ln23ex (3) y(2tan x sec x1)2sec2xsec xtan xsec x(2sec xtan x) (4) y(sin xcos x)(sin x)cos xsin x(cos
10、 x)cos xcos xsin x(sin x)cos 2x (5) y(x2ln x)2xln xx2 x(2ln x1) 1(6) y(3excos x)3excos x3ex(sin x)3ex(cos xsin x) (7) 22ln1lln(8) 342 )()3l xexexy(9) y(x2ln x cos x)2xln x cos xx2 cos xx2 ln x(sin x) 2x ln x cos xx cos xx2 ln x sin x (10) 2)cos1(in)cos1()i(ncos)1in( ttttts 3 求下列函数在给定点处的导数(1) ysin xc
11、os x 求 和 6xy4x(2) 求 cos21sind(3) 求 f (0)和 f (2) 53)(xf解 (1)ycos xsin x 2136sinco6 4i4xy(2) cossin21icossind )21(44i214 (3) xxf5)(3 23)0(f57)(f4 以初速 v0 竖直上抛的物体 其上升高度 s 与时间 t 的关系是 201gtvs求 (1)该物体的速度 v(t) (2)该物体达到最高点的时刻 解 (1)v(t)s(t)v0gt(2)令 v(t)0 即 v0gt0 得 这就是物体达到最高点的时刻 gvt05 求曲线 y2sin xx2 上横坐标为 x0 的点
12、处的切线方程和法线方程 解 因为 y2cos x2x y|x02 又当 x0 时 y0 所以所求的切线方程为y2x 所求的法线方程为 即 x2y0 y16 求下列函数的导数 (1) y(2x5)4(2) ycos(43x)(3) 2e(4) yln(1x2)(5) ysin2x (6) a(7) ytan(x2)(8) yarctan(ex)(9) y(arcsin x)2(10) ylncos x解 (1) y4(2x5)41(2x5)4(2x5)328(2x5)3 (2) ysin(43x)(43x)sin(43x)(3)3sin(43x) (3) 222 6(eee(4) 1)1xx(5) y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x (6) )()(2(12 aa212)(xx(7) ysec2(x2)(x2)2xsec2(x2) (8) ee11(9) y 2arcsin)(arcsirin2xx(10) t)i(o1o17 求下列函数的导数 (1) yarcsin(12x) (2) 21xy(3) e3cos(4) xyar(5) ln1(6) xy2si(7) arci(8) )ln(2y(9) yln(sec xtan x)(10)
