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1、1第九章向量代数与空间解析几何一、基本要求1向量代数（1）了解向量的概念，了解向量间和、差的平行四边形法则。 （2）了解空间直角坐标系，知道空间向量的坐标表示法。（3）了解向量的模、单位向量、平行向量及向量的方向余弦的概念，并掌握用坐标表达式进行计算的方法。（4）了解向量间的线性运算，理解向量的数量积与向量积及了解混合积的概念与性质；掌握数量积与向量积的向量运算与坐标运算。（5）掌握两向量垂直、平行、共面的条件。2空间解析几何（1）了解曲面方程的概念，知道常用的二次曲面的图形及其方程。（2）掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程及其求法，会求母线平行于坐标轴的柱面的方程。（3）了解空间曲线的参数
2、方程和一般方程，会求空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。（4）掌握平面的点法式、一般式、截距式方程及其求法，掌握空间直线的一般式、对称式、参数式方程及其求法，会用平面与直线的相互关系解决有关问题。二、主要内容 、 、 * 、 、2向量运算 坐标运算空间两点 ,()2211zyxM21Mar ,1212zyxazar向量 ar or ,zyxar模 2aa 2a单位向量 ： ，oar方向余弦： cs,csor1coscos,cs,cs222aazyxrr cos,cs,22aazyxzyxorrr两向量夹角 ),(bar,0r、 barr),( bazyxr),(cos、bar obrjPr 2
3、2zyxbbarjPcrr、 barjcobr2)( bbaczyxrr22Sba、r, ),(sinbabaSrrr zyxbakjiaSrrrVcba、r, cbacVrr,zyxzcbaV空间两点间的距离公式 21212121 )()()(zyxMd 定比分点公式 ,x,y.3向量的线性运算法则： )(, 、zyxzyx aababarr数量积、向量积、混合积运算规律定义 性质交换律 分配律 数乘的结合律 )(、坐标运算数量积),(cosbabarrrjbr)(P 2ar abr cbr)( )(bar)(rzyxbar向量积量右 手 法 则 的 单 位 向满 足平 面 且 与 所 在为
4、 垂 直 于 baeebarrrr,),(sinbaSr、,(1) 0ra(2) 、bar不满足交换律，满足： rcbarr)( )(barzyxbakjirr轮换性混合积ccr,cbaVrr、 , bacbcarrrzyxzcbac,r向量垂直、平行、共面的条件barbar/ 、cbar,40bar zyxba)(0、r 0,cbar曲面的一般方程 0),(zyxF方程 几何特性 备注柱面 ),( 0),(/ yxFxoyz、的曲面由坐标对称性可知其余柱面方程旋转曲面 0),(2zyxf 、zyzxfxzyf0),(0),( 由坐标对称性可知其余旋转曲面方程旋转曲面名称 曲面方程圆锥面 ),
5、cot( )()()(22222 、azxayzyxyxaz旋转抛物面 )(222、pzxypzyxyxzp旋转单叶双曲面 )0,(1122222 cbabcyax、 、旋转双叶双曲面 )0,(112 22cbabcyax yzxz、 、二次曲面名称 曲面方程球面 )0(:),:()(02220Rzyxz、5椭球面 )0,(122 cbaczbyax单叶双曲面 )0,(1122 22 cbaczbyax zyx、 、双叶双曲面 )0,(1122 22cbabyaxczzyx、 、椭圆抛物面 )0,(22 cbazyxzx、双曲抛物面 ),()( 222 czyxczybaxz 、圆柱面 222
6、22 RzRzRyx 、椭圆柱面 )0,(111222 cbaxcbya、双曲柱面 ),(222 czxczyyx、抛物柱面 )(,2222、pxzpx pyzyy椭圆锥面 )0,(222 cbazxczaybaz空间曲线的一般方程： ， 参数方程：0),(zyxGF ,)(batzyx空间曲线在坐标面上的投影空间曲线方程 投影坐标面 投影柱面方程 投影曲线方程0),(zyxGFxoy 0),(yxH0),(zyxH,yoz ,zR,R60),(zyxGF xoz 0),(zxT0),(yzxT平面方程： ,),(0CBAnzyxr、方程的形式 备 注点法式方程 0)()()(00zBA一般式
7、方程 DzCyx 、zxoyBAzD/0截距式方程 ),(1、zyxcba 、三点式方程 0131313222zyx 、312133 2, ,)(),(,MzyxMzyx平面束方程 0)(22DzCyBxA、02211DzCyBxA空间直线方程： ,),(0pnmszyxr、方程的形式 备注点向式方程(标准式方程、对称式方程) pznymx00一般式方程 )(2211、DzCyBxA )0(,/ 2211221CBAkjipnmsrrr参数式方程 ),(,0tpznymx 、 tpznymx007两点式方程 121212zyx 、 、212,),(),(Mzyxzyx平面及直线间的相互关系两平
8、面： ;0:,0: 222111 DzCyBxADzCyBxA;,nnrr两直线： .: 222111 pznmLpmL ,),(,),(2zyxMzyxM、 ;,nsnsrr平面与直线： ,0:DzCyBxA pnL000:;),(,;, 0zyxpnmsn、rr212121rr 02121CBA不重合 D/重合 )0(/n2221平面与平面 、21122nr、不成立2121CBA21L(垂直相交) 0,2sM11srr、 011pnm另式见下、21L0,21sr 0222111pnzyx直线与直线 、21L21/L、21 121/ssrr2121m、)(1LM8、21L21/sMr2121
9、pnm、)(1LM、21L 0,21sr 0222111pnmzyx )(/nrr CBA、L 0pn0zyx、平面与直线 /、 0srr m0CBA、两平面夹角22121212121),(cos),cos( CBAnn rr两直线夹角22121212121),(cs),cs( pnmsLrr平面与直线的夹角222),(cos),(sin pnCBAsnrr,),(00zyxM、 ,0:DzCyBxA、 )(,: 1111 zyxMpznmL、点 到平面的距离0 2200CBAd点 到直线的距离0M 220110110 pnmzyxkjisMdrrrr三、重点与难点重点：1有关向量的数量积与向
10、量积的计算2平面与空间直线的垂直、平行及相交关系3平面与空间直线方程的求法94旋转曲面方程的写法，二次曲面的名称与图形5空间曲线在坐标面上的投影及其方程难点：1 向量积的理解2 有关平面与平面、直线与直线、平面与直线的距离及相交等综合问题的分析四、例题解析1、 关于向量的运算在向量的运算中，要注意区别哪些量是数量，哪些量是向量；要记住各种运算的规律、特征和公式；掌握向量平行、垂直和共面的充分必要条件。例 1 下列等价式是否成立？说明理由：;)(cbarrr;)2(cbarrr;3 .4 、cbar解 、)1(.,)(,0 ,0)(,02 babacbac cbac rrrrrr 、 、.2)3
11、( r、 、 、 0,/0, ,)(0)(4 ccbacbac bacb rrrrr rrr例 2 下列等式是否正确？说明理由： 、bar,;)()(1cbarr ;)()(2cbacr;3br ;4222brr10;),(sin1),(cos)52babarr .),(cos1),(sin)62babarr解 (1) 不正确；因为左式中 是数， 是与 平行的向量，,同理， 是 的平行向量，两向量不一定相等。)(cbar .)()(,0)()( ;,)2( cbacbji ijkkjiajcbrrrrr rr 、 .200)3( babaa rrr 、 222222 ),(cos),(sin
12、),cos()4( babababa rrrrrr、 ,1),(si1 ,0sin),sin(1,)5(2ir 、 ,0),sin(,)(0)6( babarr例 3 、 BAA ,3412,98)7,12(r解 这是一道有关向量的模与平行问题的题目，应把题中条件转化成数学表达式。 .)17,8(,2 ,)12()9()8()( ,2,91,8 ,7,1222 、 、BzyxA azyxAzB r例 4 、 zyxua ,3,4r 、 uar)2)1(解 应用向量的方向余弦来解决向量与向量、向量与轴的夹角是常用的方法。 ,293),cos()2( ;32341 ,1,3cos,coscossc
13、o 222 aPuauaPuu urjoorj rrr、 、11.293arcos),(ur、例 5 .)()(2;)3()2()1:,4,3, bababba rrrr 、解 给出的条件是向量的模与夹角，要求向量的数量积与向量积，就应该从它们的定义与性质出发，并注意这两种运算的区别。 .30),sin(55)263)()2() ;352),cos(1 22 babaaba brr rrrr rrrr例 6 .,1,83, 、 abarrr解 此题应用数量积的性质 来打开向量和的模。a2.1,0853,0 22),()( 2222 、 、ba bababbrr rrrrrrr例 7 、 ,2,4kjikji rrr、ba)1( 、ba)(;3ebrrr、 ;)()(4barr、ba,)5(解 给出的条件是向量的坐标，对有关向量的数量积与向量积，则应进行它们的坐标运算。 .2,1,39 .2,1,1,9.)2( .135),(,21389),cos12 baPbaba bbababaorj orj brj orr rrrrrr、 、 、12.24,32;5,630,3 ,1,)5( .,2
