行列式的计算文献综述

《行列式的计算文献综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行列式的计算文献综述（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、行列式的计算文献综述文献综述行列式的计算 一 前言部分 1.1 写作目的我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。1行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求

2、解问题,时至今日行列式理论的应用却远不如此,它在消元法、矩阵论、坐标变换,多重积分中的变量替换,解行星运动的微分方程组、将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用,然而这些应用最终都离不开行列式的计算,它是行列式理论中的一个重要问题。它的起源于 1757 年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的,然而它的应用早已超出了代数的范围,成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。行列式是代数学中线性代数的重要分支,是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论和方法,是研究现代科学技术的重要方法,在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。对行列式在高等数学中

3、的应用作了总结,初步揭示工科数学两门重要的基础课线性代数与高等数学之间密切的联系。行列式的计算是一个很重要的问题,也是一个很复杂的问题。阶数不超过 3 的行列式可直接按行列式的定义求值,零元素很多的行列式(如三角行列式)也可按照定义求值。对于一般 n 阶行列式特别是当 n 很大的时候,直接用定义求值是不大可能的。所以,研究一般 n 阶行列式的计算是非常必要的。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入

4、使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵,与矩阵不同的是,矩阵的表示是用中括号,而行列式则用线段。也可以这样解释:行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和,和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定:若逆序数之和为偶数,则该项为正;若逆序数之和为奇数,则该项为负。行列式是在解决实际问题中被创建的,它有着自身的特点和性质,对于行列式的计算是应用行列式

5、解决其它问题的基础,而行列式的计算方法并不是唯一的,主要针对行列式的特点,应用行列式的性质,提供了 一些计算行列式的常用方法,例如:根据性质直接计算行列式,化成三角形行列式法,按一行(列)展开以及利用公式法,归纳法,加边法,析因子法等 7 种方法,但这几种方法之间不是相互独立,而是相互联系的,一个行列式可能有几种解法,这就要求我们在掌握了行列式的解法之后,灵活运用,找到一种最简便的方法,使复杂问题简单化,有时几种方法结合着用效果更好。在介绍了行列式的计算方法与技巧的同时,又介绍了行列式的简单应用,其中包括应用行列式解线性方程组(主要应用克莱姆法则,这里要注意应用的条件),雅可比行列式在隐函数组

6、中的应用,非奇异矩阵的判别以及计算矩阵的秩。行列式起源于 1757 年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的,然而它的应用早已超出了代数的范围,成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具,因此对行列式的学习应予以重视,其中行列式的性质非常重要,在计算行列式的过程中起着关键的作用。而对行列式进行计算不是唯一目的,主要是利用行列式去解决一些问题,使复杂问题简单化,在解决问题方面起到抛砖引玉的效果。2行列式的定义3,4行列式在数学中,是一个函数,其定义域的矩阵 A,取值为一个标量,写作detA 或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空

7、间中的推广。或者说,在 n 维欧几里得空间中, 行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。由个数组成 n 阶行列式等于所有取自不同行列的元素乘积的代数和记作:简记作,数称为行列式 D 的元素。其中是一个 n 阶排列,为这个排列的逆序数。n 个元素的乘积的代数和1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、 n 阶行列式由 n 项的代数3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积;4、每项 的符号为5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.定理 n 阶行列式的一般项可记为。二 主题部分2.1 行列式的历史背景行列式的概

8、念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683年写了一部叫做解伏题之法的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1693 年 4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。1750 年,瑞士数学家克莱姆 G.Cramer,17041752 在其著作线性代数分析导引中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖 E.Bezout,17301783 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了如

9、何判断一个齐次线性方程组有非零解。在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙 A-T.Vandermonde,17351796 。范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人。 1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法。1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给

10、出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。19 世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 J.Sylvester,18141894,他的重要成就之一是改进了从一个 n 次和一个 m 次的多项式中消去 x 的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出证明。在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 J.Jacobi,18041851,他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”,指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文论行列式的形

11、成和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。12.2 行列式的性质5,6,7性质 1 行列式与它的转置行列式相等.性质 2 互换行列式的两行(列), 行列式变号.推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数 k 乘此行列式.推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推

12、论 行列式中如果有一行(列)元素等于零,则此行列式的值为零.性质 4 若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零.性质 5 行列式具有分列(行)相加性.注:如果行列式的某一行列所有元素都是两个项的和,则此行列式等于两个行列式的和,具体如下:即则行列式等于下列两个行列式之和:性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去,行列式不变.行列式的计算方法与运用范德蒙行列式的应用7形如行列式称为 n 阶的范德蒙行列式。用连乘号,这个结果可以简写为:由这个结果立即得出: 范德蒙行列式为零的充分必要条件是这 n 个数中至少有两个相等。2.3.2 提取公因式法若

13、行列式满足下列条件之一,则可应用此法:(1)有一行(列)元素相同,称为“a,a,a 型”;(2)有两行(列)的对应元素之和或差相等,称为“邻和型”;(3)各行(列)元素之和相等,称为“全和型” 。满足条件(1)的行列式可直接提取公因式 a,变为“1,1,1 型”,进而化为“1,0,0 型”,于是应用按行(列)展开定理,使行列式降一阶。满足条件(2)和(3)的行列式都可根据行列式的性质变为满足条件(1)的行列式,间接使用提取公因式法。 2.3.3 分块矩阵的初等变换在行列式中的应用5 分块矩阵是在处理基数较高的矩阵时所采用的一种方法,即把一个大矩阵看成是由一些小矩阵构成,就如矩阵由数构成的一样。

14、特别在运算中把这些小矩阵当成数来处理,这就是所谓的分块矩阵。 用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换,是矩阵运算中极为重要的手段,它能够使一些困难的问题变得容易处理。下面分别给出它在矩阵的行列式、矩阵求逆、矩阵的秩和矩阵特征值等方面的应用。公式 1 设 A 为 n 阶可逆矩阵,为两个 n 维向量,则。公式 2 设 A 为 n 阶可逆矩阵,其中为阶矩阵,为阶矩阵,则。公式 3 设 A 为 n 阶可逆矩阵,U,V 均为 n 维向量,为 A 的伴随矩阵,为 V 的转置,则。公式 4 换元公式。2.3.4 高阶行列式的计算方法与技巧3行列式是数学中重要的计算工具之一, 而高阶行列式的计算,其基本方法和

15、技巧是“化零”和“降阶”,即先利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后套用特殊的行列式的值来计算(如上(下)三角行列式)或利用按行(列)展开定理降低行列式的阶数。特征一:待求行列式的零元素特别多,可考虑直接用行(列)展开定理特征二:待求行列式的所有行(列)对应元素相加后相等,可把所有行(列)加到第 1 行( 列),提取公因式后,再把每一行都减去第一行(列),即可使行列式中出现大量的零元素。特征三:待求行列式的相邻行(列)的大部分元素相差 1 或相等,可用前行(列)减去后行(列),或后行(列)减去前行(列),即可出现大量元素为 1 或-1 或 0,进一步化简可出现大量零元

16、素。特征四:待求行列式是“三线”型,即除某一行、某一列和对角线或次对角线不为零外,其余元素均为零的行列式,可先按行(列)展开得两项递推关系,将其变形为 2),其中,即是方程的两个根,确定后再递推求出。2.3.5 化成三角形行列式法3,5,7 先把行列式的某一行(列)全部化为 1,再利用该行(列)把行列式化为三角形行列式,从而求出它的值,这是因为所求行列式有如下特点:1)各行元素之和相等;2)各列元素除一个以外也相等。2.3.6 对角线法则6,7此法则适用于计算低阶行列式的值(如 2 阶、3 阶行列式的值),即主对角线的元素的乘积减去辅(或次)对角线上的元素的乘积,其主要思想是根据 2 阶、3 阶行列式的定义来计算行列式的值。2.3.7 定理 18 函数是 22 的矩阵当一列固定不变时是另一行的线性函数。也就是,如果都在中,是一个数值,那么和 。定理 29 交换行列式中的第 r 行跟第 i 行将