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1、1伊宁县第二中学数学学科导学案【课 题】：函数的性质（二）【备 课 组】：高三数学【主 备 人】：冯 浩【备课时间】：2014-8一、学习目标1能理解、掌握函数周期性的有关概念2会判断函数的周期性，理解图像具有对称性的函数在解析式上的特征3能理解、应用函数的奇偶性、周期性和对称性.二、活动方案（一）课前观察：1. 若函数 f (x)= sin2x+cos2x，x 则 f (x) （ ） 2,A是以 2 为周期的函数 B.是以 为周期的函数 C.是以 4 为周期的函数 D.不是周期函数 2. 若 R 上的函数 f (x)满足对任意 x,都有 f (x+2)=f (-x-2)你能得到的结论是_.3
2、. 若 R 上的函数 f (x)满足对任意 x,都有 f (x+2)=f (-x+2)你能得到的结论是_.4. 若 R 上的函数 f (x)满足对任意 x,都有 f (x+2)=f (x-2)你能得到的结论是_.（二）知识梳理：1 定义：若对于函数 f (x)的定义域内的_的一个值 x，存在非零常数 T，使 f (x+T) = f (x)，则称 T 为函数 f (x)的_；函数 f (x)称为_函数；若在 T 的取值集合中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数称为函数 f (x)的_.2 性质：（1） 若对于函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x+a)=f (-x+b)，则有_特别的
3、，若对于函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x+a)=f (-x+a)，则有_，此时 f (x)=_.（2） 若对于函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (ax+b)=f (-ax+b)，则有_（3） 若函数 f (x)图像的对称轴为 x=a，则函数_为偶函数 ；若函数 f (x)图像的对称中心为（a,0） ，则函数_为奇函数.（4） 若对于 R 上的函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x+a)=f (x +b)，则有_（5） 若对于 R 上的函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x+a)= - f (x)，则有_（6） 若对于 R 上的函数 f (x)的定义
4、域内的任意的 x，f (x+a)= ，则有_1（7） 若对于 R 上的函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x+a)= - ，则有)(1xf_（8） 若对于 R 上的函数 f (x)的定义域内的任意的 x，f (x)=f (x-a)-f (x-2a)，则有_（9） 若 R 上的函数 f (x)的图像分别关于直线 x=a 和 x=b 对称，则有_（10）若 R 上的函数 f (x)的图像分别关于点（a，0）和(b,0)对称，则有_（11）若 R 上的函数 f (x)的图像分别关于直线 x=a 和点(b,0)对称，则有_（三）典例精析：例 1已知 f (x)是 R 上的奇函数，且对于任意实
5、数 x 恒有 f (x+2)=-f (x)，当 时，f (x)=2x-x2.2,0（1）求证：f (x )是周期函数；（2）当 时，求 f (x)的解析式；4,（3）计算 f (0)+ f (1)+ f (2)+ f (2013)的值.变题 1.函数 f (x)是 R 上的偶函数，且 f (x+2)= - ，当 时，f (x)=x，则 f (105.5)=_；)(1f3,2x例 2设函数 f (x)在 R 上满足 f (2-x)= f (2+x)，f (7-x)= f (7+x)，且在0,7上，只有 f (1)= f (3)=0.（1）判断函数 f (x)的奇偶性；（2）试求方程 f (x)=
6、0 在-2014,2014上的根的个数.2变题 2：已知函数 是定义域为 R 的偶函数，对于 R 上的任意 x 都有 f (x+6)= f (x) + f (x+3)，且当()fxx1、x 2 且 x1x 2 时都有 0. 给出下列命题：3,021)(xf f (3)=0；直线 x =6 是函数 y= f (x)图象的一条对称轴； 函数 y= f (x)在-9,-6上是增函数；函数 y= f (x)在-9, 9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为_.（四）本节检测：1.偶函数 对任意 ，都有 ，当 时 ,则 = （ )(xfR)(13(xff2,3xf)()5.13(f） A. B. C.
7、D.7272512.已知函数 ()fx满足：x4 时 ()fx 1x；当 x4 时 ()f )fx，则 2(log3)f= （ ） A. 2 B. 12 C. 18 D. 383 已知函数 ()fx是 ,)上的偶函数，若对于 0x，都有 (2()fxf） ，且当 0,2)x时，2()log1f），则 (208(9)ff的值为 （ ）A B 1 C 1 D 2 4. R 上的偶函数 周期为 3， ，则方程 =0 在（0,6）内解的个数的最小值是 （ )(xf0)2(f)(xf） A5 B4 C3 D25. 是 R 上周期为 4 的偶函数，当 时， ，则 的值分别为 )(xf 3,xf)( )5.
8、(,1),5.6(ff（ ） A. 6.5 -1.5 5.5 B. 2.5 2.5 1.5 C. 2.5 2.5 -1.5 D. 2.5 2.5 2.5 6.已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) -f (x)，则 f (6)的值为 （ ）A -1 B. 0 C. 1 D . 27. 已知定义在 R 上的函数 f (x)不是常数函数，且满足 f (x-1) = f (x+1) ，f (x+1)= f (1-x) ，则 f (x) ()A是奇函数也是周期函数 B是偶函数也是周期函数C是奇函数但不是周期函数 D是偶函数但不是周期函数8已知 )(xf是定义在 R 上的奇函数，若
9、)(xf的最小正周期为 3， ,132)(,0)1(mff 则 m 的取值范围是 （ ）A )23,(B )23,1(C )23,1(D ),23()1,(9. 若函 R 上的函数 满足 则函数 f (x)的周期是_.xfy)xfaf10若函 R 上的函数 满足 则函数 f (x)的周期是_. )(f (1)(ff11设 是 R 上的奇函数， 当 时， ，则 =_)(xf ,2xf0f)5.7(f12. 已知 R 上的函数 f (x)满足：f (x)= f (4x)，f (7+x)= f (7x)，f (0)=0，则在1000，1000 上方程f(x)=0 的根的个数最少 为_13. 设 f (x)是周期函数，最小正周期为 2，且 f (1+x)= f (1-x)，当-1 x0 时，f (x)= -x，试求函数在区间-1，3 上的表达式 .314.设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，都有)(xfR1x21,0,1x. )(2121xf(1)设 ，求 ； f4,(2)证明 是周期函数.)(x
