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1、4.2 李雅普诺夫第一法,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义,4.3 李雅普诺夫第二法,4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义,4.1.1 系统状态的运动及平衡状态,设所研究系统的齐次状态方程为,（1）,式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。,设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：,（2）,式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从,开始观察的时间变量。,式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空
2、间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。,若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：,成立，则称 为系统的平衡状态。,（3）,对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：,当A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。,（4）,对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解例如系统：,就有三个平衡状态：,4.1.2 稳定性的几个定义,若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示
3、：,（5）,式中， 为欧几里德范数。,在n维状态空间中，有：,（6）,当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球域 内，便有：,（7）,式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。,4.2 李雅普诺夫第一法,4.2.1 线性系统的稳定判据,平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。,以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。,如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出稳
4、定。,线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：,的极点全部位于s的左半平面。,（2）,4.2.2 非线性系统的稳定性,为其平衡状态； 为与 同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。,为讨论系统在 处的稳定性，可将非线性矢量函数 在 邻域内展成泰勒级数，得：,（4）,例4-1 P161,式中， 为级数展开式中的高阶导数项。,称为雅可比(Jacohian)矩阵。,若令 ，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程：,（6）,在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：,1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(3)在平衡状态 ，是渐近稳定的，而且系统的稳
5、定性与 无 关。,2)如果 A 的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。,3)如果 A 的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性将取决于高阶导数项 ，而不能由A的特征值符号来确定。,设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，且在 处恒有 。,4.3 李雅普诺夫第二法,李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。,4.3.1 预备知识,1.标量函数的符号性质,所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：,2二次
6、型标量函数,二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。,设 为n个变量，定义二次型标量函数为：,（8）,矩阵 P 的符号性质定义如下：,设P 为 实对称方阵， 为由P 所决定的二次型函数。,3希尔维斯特判据,设实对阵矩阵：,由此可见，矩阵P 的符号性质与由其所决定的二次型函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号只要判别P 的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。,（9）,为其各阶顺序主子行列式：,（10）,矩阵 定号性的充要条件是：,4.3.2 几个稳定性判据,用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。,如果存在一
7、个标量函数 ，它满足：,2) 是正定的，即当 。,3) 沿状态轨迹方向计算的时间导数 分别满足下列条件：,若 为半负定，那么平衡状态 为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。,若 为负定；或者虽然 为半负定但对任意初始状态 来说，除去 外，对 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还 ，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。,1) 对所有z都具有连续的一阶偏导数。,若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。,例4-4 P167,4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据,设线性定常连续系统为：,则平衡状态 为大范围渐近稳定的
8、充要条件是：A的特征根均具有负实部。,（1）,对任意给定的正定实对称矩阵Q，若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程： AT P + P A = - Q （2） 则可取：V(x) = xT P x 为李雅普诺夫函数。,例4-9 P172,4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。,4.5.1 雅可比(Jacobian)矩阵法,式中， 为 维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函数。,假设原点 是平衡状态， 对 可微，系统的雅可比矩阵为：,（13）,则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P ，使下列矩阵,（14）,是系统的一个李雅普诺大函数。,如果当 时，还有 ，则系统在 是大范围渐近稳定。,例4-12 P179,
