水杯重心升降的探讨 郑董董 201010800089

水杯重心升降的探讨郑董董 201010800089摘要：本小组的在应用物理选讲的 PPT 展示--重心平衡中涉及到的“奇异平衡”内容中“倾斜的易拉罐” ，发现易拉罐中注水量与重心的位置有着奇妙的关系，本文特以“圆柱形水杯”为研究对象进行探讨，旨在弄清楚注水量与重心的位置的关系关键词：水杯 重心 位置 探讨正文：1、回顾1、重心的定义重心，是高中物理必修 1 课本中第三章第一节的内容一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心质量分布均匀的物体，重心位置只跟物体的形状有关；而质量分布不均匀的物体，重心位置除了跟物体的形状有关外，还跟物体的质量分布情况有关2、奇异平衡——倾斜的易拉罐如图一所示，在一支使用过的易拉罐内注入适量的水，慢慢调节其直至倾斜平衡这奇异平衡不仅在视觉上造成奇妙的景象，在理论上更是奇妙适量的水不仅使水和易拉罐的重心下降，恰当的易拉罐构造使得倾斜时，重力的作用线恰好通过支撑点使其平衡简单地说，就是重心的神奇作用但是在调节其平衡时，我们发现，注水量会影响重心的位置，加的水量太多易拉罐直接倾倒，加的水量少则达不到倾斜的程度。

所以不是简单的一味加水而重心就会下降或是上升，其两则究竟是什么关系呢？这个问题一直困扰着我3、高中经典之题在高中学习重心时，总会碰到这样一道题有一个圆柱形的水杯中，原来杯中没有水，在向空杯中缓慢注水，直至注满的过程中，系统的重心位置（A）慢慢下降 （B）慢慢上升 （C）先升后降 （D ）先降后升依稀记得，老师只是简单地口头说说，这就是生活中的经验得到的，并未给予我们常规的推导和讲解2、探讨水杯重心的升降本文主要围绕“高中经典之题”进行对物体的重心位置与注水量（物质分布）关系的探讨利用两种不同的方法进行计算推理得出结论，旨在帮助学生更好地理解明白该题的原理及掌握解题技巧方法更重要的是为“倾斜的易拉罐”这个教具奠定了理论基础，为教具的推广产生深远的意义1、方法一本题常用极限法分析:以空杯和杯中的水组成的系统为研究对象,没加水时, 系统的重心在水杯的几何中心;加半杯水时,系统的重心在水杯几何中心的下方;加满杯水时, 系统的重心还在水杯的几何中心.所以,在向空杯注水直至注满的过程中,系统的重心是先降后升.由于系统重心位置与杯内水面高度并不是一个简单的函数关系,在高一物理教学中,教师这样处理例题,显然是无可厚非的.但是在高三物理复习中,在学生已有的数学知识基础上,教师完全可以引导学生建立模型,自主探究系统重心升降与杯内水面高度的定量关系,找出系统重心的最低点以及满足系统重心最低时的水面高度.如图所示, 设空杯的质量为 , 能装进的水的最大m质量为 , 水杯的高度为 , 杯内水面的高度为 , 杯MHh内水的质量为 。

若忽略水杯的厚度和质量 分布的不h均匀性, 以杯底为零高度, 则空杯的重心高度为 , 杯2H中水的重心高度为 2根据重心计算公式, 系统重心的高度为 21myy（1） 将 、 、 和 代入（1）式， m1MHh221yh可以得到系统重心的高度为 （2）mHM2图2为(2)式的函数图像，如图可知，随着杯中水面高度 逐渐升高，系统h重心先降后升为了求系统重心高度的最小值，对（2）式求导（3）22' HmMhhy令（3）式等于零，可得系统重心最低时的水面高度为 (4)HMmh把（4）式代入(2)式，可得系统重心高度最小值为(5)ymin从上述定量的分析可以发现，在向空杯中缓慢注水的过程中，系统的重心先降低再升高当系统重心最低时，重心高度与此时的水面等高2、方法二设杯子是由密度为 同种均匀材料制成的,杯子是内外半径分别为 、 深1 rR度为 的圆筒，底部为厚度为 的圆盘由于杯子具有轴对称性，其质心( 重Hd心)只在对称轴线上，故取对称轴为 轴，并规定竖直向上为 轴正方向，杯底yy面圆心处为坐标原点为O。

杯底质量为 ，重心高度为 ；1m2d杯侧壁质量为 ，重心高度为 2m2hdRSV211（1）（2） Hrdm222（3）R1（4） 恒 量HrRdrdHdyy22 2221212 设某一时刻 时注入杯中的水质量为 ，液柱高度为 则此时杯和水所t 3m3h组成的系统的总体质心高度为 3yhrmdyMmgcyy s2''1212312312 （5）（6）hrmmdyhrrrhhdry2' 2''2'2'4' ' 2'2'2'2'2  令（6）式等于零，得(7)MmHdymHMdyrh  12212'2佳时， 是 的减函数；佳0yh(b) 时， 是 的增函数；Hh佳(c) 代入（5）式，得到 这说明注入的液体的液面达到 时，佳佳hy佳h恰好液体与杯子所组成的系统的重心等高三、总结本文利用两种不同的方法，进行数学计算推导得出了“水杯注水量和重心的位置”的关系表达式只有当注水量的在杯中的高度达到最佳高度，即可以与杯的重心等高，保证在倾斜时重心的作用线始终通过杯与桌面的接触面，使物体保持平衡状态。

该题对于高一学生来说是深些，但是对于高三理科的优等生可作为探究性课题，以培养他们的挖掘课文和科学探究的素质。