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1、该资料由 友情提供量与函数的概念整 体 设 计教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念三维目标1会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 yf(x)的含义2通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力3启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识4掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数
2、的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：符号“yf(x)” 的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值课时安排1 课时教 学 过 程导入新课思路 005 年 10 月 12 日 9 时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5 天后圆满完成各项任务并顺利返回在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离 y 随时间 t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引出课题思路
3、 知函数 y用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题推进新课1给出下列三种对应： 幻灯片一枚炮弹发射后，经过 26 s 45 m，且炮弹距地面的高度 h单位：m 随时间 t单位：s 变化的规律是 h 130t5t 情提供t|0t26 ，h 的变化范围是数集 Bh|0h845，则有对应 f： th130t5t 2，tA ，hB.近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位：10 6 时间 t(单位：年) 从 19792001 年的变化情况根据图中
4、的曲线可知时间 t 的变化范围是数集 At|1979t2001，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集 BS|0S26，则有对应：f：tS ，tA， SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明， “八五” 计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间t 1991 1992 19931994来源 :995 1996 1997 1998 1999 2000 知时间 t 的变化范围是数集 At|1991t2001，恩格尔系数 y 的变化范围是数集 BS|，
5、则有对应：f：ty ，tA，y2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义(3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？(4)什么是区间？(5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围” 的？(6)函数有意义指什么？(7)函数 f：AB 的值域为 C，那么集合 BC 吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性该资料由 友情提供：(1)共同特点是：集合 A、B 都是数集，并且对于数集 A 中的每一个元素x，在对应关系 f：AB 下，在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么我们称 y是 x 的函数，其中 x 是
6、自变量，y 是因变量(2)定义：设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这 种对应关系叫做集合 A 上的一个函数记作 yf(x) ，x变量取值的范围 (数集 A)叫做这个函数的定义域如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 yf(a) 或y|x y|yf(x)，x A叫做这个函数的值域函数 yf(x) 也经常写作函数 f 或函数 f(x)因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则(3)根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函
7、数关系，只要检验：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值 y.(4)在研究函数时常会用到区间的概念，设 a，b 是两个实数，且 ab，如下表所示：定义 名称 符号 数轴表示x|axb 闭区间 a，bx|axb 开区间 (a，b)x|axb 来源:学科网 半开半闭区间 a，b)x|axb 半开半闭区间 (a，bx|xa a，)x|xa (a， )来源 :Z#xx#x|xa (，ax|xa (，a)R (，)(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围(6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为 0，被开方数为非负数，
8、如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等(7)C B.路 1例 1 已知函数 f(x) ，x 31x 2( 1)求函数的定义域；(2)求 f(3)，f( )的值；23(3)当 a0 时，求 f(a)，f(a1)的值活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变该资料由 友情提供，故转化为求使 和 有意义的自变量的取值范围； 有意义，则x 31x 2 x 3x30 ， 有意义，则 x 20，转化为解由 x30 和 x20 组成的不等式组1x 2(2)让学生回想 f(3)，f( )表示什么含义？ f(3)表示自变量 x3 时对应的函数值，23f( )表示自变
9、量 x 时对应的函数值分别将 3， 代入函数的对应法则中得 f(3)，f( )23 23 23 23的值(3)f(a)表示自变量 xa 时对应的函数值， f(a1)表示自变量 xa1 时对应的函数值分别将 a， a1 代入函数的对应法则中得 f(a)，f(a 1) 的值解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值需满足得 3x2 或 x2，即函数的定义域是3，2) (2，)(2)f(3) 1； 3 31 3 2f( ) 3 3 123 2 38 333(3)a0，a 3，2)( 2，) ，即 f(a)，f(a1)有意义则 f(a) ；a 31a 2f(a1) 1 31a 1 2 a 2 1a
10、1点评：本题主要考查函数的定 义域以及对符号 f(x)的理解求使函数的定义域，通常转化为解不等式组f(x)是表示关于变量 x 的函数，又可以表示自变量 x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号 f(x)没有什么意义符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算例如 f(x)x 2x5，当 x2 时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去 2，再加上 5；当 x 为某一代数式(或某一个函数记号 )时，则左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一个函数) 来代替如：f(2x 1)(2x1) 2(2x1) 5，fg(x)g(x) 2g(x)5 等符号 yf(x) 表示变量 y 是变量
11、x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示 y 等于 f 与 号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系，当 m 是变量时，函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数；当 m 是常数时，f(m) 表示自变量 xm 对应的函数值，是一个常量已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R.(2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合 (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
12、使各部分式子都有该资料由 友情提供(即求各部分定义域的交集 )(5)对于由实际问题的背景确定的函数，函数 f(x) 的定义域1x 1解：要使已知函数有意义，当且仅当 x1个函数的定义域是 x1 的所有实数，即(1， )2求函数 f(x) ，xR ，在 x0, 1,2 处的函数值和值域11解：f(0) 1，f(1) ，f(2) 1 112 1 12 122 1 15容易看出，这个函数当 x0 时，函数取得最大值 1，当自变量 x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于 0，但永远不会等于 y|y ，xR(0,11例 2 (1)已知函数 f(x)x 2，求 f(x1) ；(2)已知函数 f(x
13、1)x 2，求 f(x)分析：(1)函数 f(x)x 2，即 xx 2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系函数 yy 2，tt 2，uu 2，都表示同一个函数关系同样自变量换为一个代数式，如 x1，平方后对应的函数值就是(x1) f(x1)表示自变量变换后得到的新函数(2)为了找出函数 yf(x) 的对应法则，我们需要用 x1 来表示 1)f(x1) (x1) 2x 22x1；(2)因为 f(x1)x 2(x1) 22 (x1)1，所以 f(t)t 2 2t1，即 f(x)x 22x知 f(x)求 f(g(x)，用 g(x)替换 f(x)中的 x，即可得 f(g(x)；已知 f(g(x)，求 f (x)，利用配凑法求解还可利用换元法例如(2)另解：设 x 1t，则 xt1，f(t) (t1)2t 22t1， f(x)x 22x知 f(x) x ，求 f(x2x)1f(x 2x)x 2x 知 f(x1)x 2x1，求 f(x)答案：f(x) x 23x
