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1、人教 B 版数学必修 4 第二章平面向量教学设计一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力1本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分
2、析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义。 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 掌握数量积的坐标表达
3、式，会进行平面向量数量积的运算。 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建
4、立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析平面向量的实际背景及基本概念标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示如：用向量 a 表示向东走了 ，则- a 表示3km_一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100 ，到达 B 地，可以用向量 a 表示，那么从 B 地出发到 A 达地应如何表示？向量 a， b 都是非零向量，下面说法不正确的是（ ）（A）向量 a 与 b 反向，则向
5、量 a+b 与向量 a的方向可能相同（B）向量 a 与 b 反向，则向量 a+b 与向量 b的方向可能相同（C）向量 a 与 b 反向，且 ，则向量 a+b与向量 a 的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量（D）向量 a 与 b 反向，且 ，则向量 a+bab与向量 a 的方向可能相同向量的线性运算标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义了解向量的线性运算性质及其几何意义如：若向量 a 表示向东走了 ， b 表示向南2km走了 ，则 a b
6、 表示_1km已知下列各式 ；ABC ；MO ； ；ABCD其中结果为零向量的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4 已知向量 a， b 满足 a+2b，AB5a+6b， 7a 2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D如：在 中， D， F 分别是 AB， AC 的中点，BF 与 CD 交于 O，设 a， b，用 a， bAC表示向量 掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件会进行向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求了解平面
7、向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表如：某人在静水中游泳，速度为每小时 ，3km水流的速度为每小时 ，如果他要垂直游到4km对岸，则他的实际速度是多少？ 如：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别为 A(-2，1)， B（3，4） ， C（-1，3） ，则顶点D 的坐标为_如：已知 ， 且点 在(0,1)(,)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算理解两个向量共线的充要条件A BCD EF示平面向量的加、减与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件的平分线上，若 ，则向量AOB2OC_C已知向量 ， ，(,1)k(4,5)B
8、且 A， B， C 三点共线，则(,0)O_k平面向量的数量积标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系如：用两根夹角为 角的等长的绳子悬挂一120个灯具，若灯具的重量为 10 ，则每根绳子的N拉力大小是_如：已知点 ， ， ，(,)A(,)B(4,6)C则 在 上的投影的值为_BC如： a=（ 3，2） ， b=（ 4， k） ，若（5 a b） （3 a b）=55，求
9、实数 k 的值如：两单位向量 a， b 的夹角为 ，则两向60量 p=2a+b 与 q=3a+2b 的夹角为_换垂直的题明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义 明确向量 b 在向量a 的方向上的投影掌握数量积的公式，能进行数量积的运算明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件向量的应用标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量如图，在平行四边形 中， ，AB13DE与 交于 ，用向量的方法证明：A14掌握平面两点间的距离公式、 掌握线段的定比分点和中点
10、坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从一岸边的 处出发驶向对岸，0.4kmA已知船速为 ，水速为 ，15kvh23kmvh欲使航行最短，则所用时间为_题（2）本单元变化之处删繁就简，降低了知识的难度调整章节，凸显了知识的框架贴近生活，重视了知识的应用（3）人教 B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其
11、运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律( + )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形 ABCD=ab中，ADBC，ABCD， ).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图ABDC形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就
12、是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形，则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形.教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修 1，必修 4 的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题
13、的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。二、教学方式概述人教 B 版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的要求。讲授启发式、自主探究式向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力1引导学生用数学模型的观点看待向量内容 2加强向量与相关知识的联系性，使学生明确
14、研究向量的基本思路3引导学生认真体会向量法的思想实质掌握向量法的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.4注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比三、教学资源概述教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规四、课时建议本单元教学约需 12 课时2.1 平面向量的实际背景及基本运算 2 课时2.2 平面向量的线性运算 2 课时2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时2.4 平面向量的数量积 2 课时2.5 平面向量应用举例 2 课时
15、小结 2 课时数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案第一学时第二学时2.1.1 向量的概念一.学习目标1.关于向量的概念(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何表示;(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.2.关于向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;(2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果
