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1、第二节 平面向量基本定理与坐标运算,1.平面向量基本定理(1)平面向量基本定理.条件：e1,e2是同一个平面内的两个_向量.结论：对于这一平面内的任一向量a,_实数1,2满足a=_.(2)基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,不共线,有且只有一对,1e1+2e2,(3)平面向量的正交分解：向量正交分解是把一个向量分解为两个_的向量.2.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=x i+y j，由于a与有序数对(x,y)是一一对应的，因此向
2、量a的坐标是(x,y)，记作_.,互相垂直,a=(x,y),(2)设 =xi+yj，则向量 的坐标(x,y)就是_的坐标,即若 =(x,y),则A点坐标为_,反之亦成立(O是坐标原点).,终点A,(x,y),3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),4.向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a0)，则ab_.,x1y2-x2y1=0,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)若a,b不共线，且1a+1b=2a+2b，则1=2,1=2.( )
3、(3)平面向量的基底不惟一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底惟一表示.( ),(4)点的坐标与向量的坐标在形式上完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中既有方向也有大小的信息.( )(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成 ( ),【解析】(1)错误，只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底.(2)正确.由1a+1b=2a+2b，得(1-2)a+(1-2)b=0，又a,b不共线，故1-2=1-2=0,从而1=2,1=2.(3)正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确.,(4)正确.由向量的坐标的意义可知正确.(5)错误.因为x2，y2有可能等于0
4、，所以应表示为x1y2x2y10.答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.若已知e1，e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是_.e1与-e2； 3e1与2e2；e1+e2与e1-e2； e1与2e1.【解析】由题意知向量e1与2e1共线，故不能作为平面的基底.答案：,2.若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则【解析】由题意知 =(1，1)， =(2，2)，故 (1，1)-2(2，2)=(-3，-3).答案：(-3，-3),3.设向量a(m，1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m=_.【解析】设ab(0)，即m且1m，解得m1，0，m1.答案：
5、-1,4.若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c用a,b表示为_.【解析】设c=xa+yb，则 c=3a-b.答案：c=3a-b,5.已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则m_.【解析】ab(1，m1).(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案：1,6.设向量a(1，3)，b(2，4)，若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c_.【解析】设c(x，y)，则4a+(3b-2a)+c=0， 答案：(4，-6),考向 1 平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)下列各组向量：e1=(-1,2)，e2=(5,7)；e1=(3,5
6、),e2=(6,10)；e1=(2,-3),e2=( )，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是_.,(2)如图，在ABC中， DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设 =a, =b，用a,b表示向量,【思路点拨】,【规范解答】(1)中的两向量不共线；中e1= e2，故两向量共线；中e2= e1，故两向量共线.综上，只有中的两向量可作为平面的一组基底.答案：,(2) DEBC，由ADEABC，得 (b-a).又AM是ABC的中线，DEBC， (b-a).又 a+ (b-a)= (a+b).ADNABM, (a+b).,【互动探究】在本例题(2)图中，连结C,D交AM于点P，若 求
7、,的值.,【解析】 a-b， (a+b).=( a+ b)-( a-b)=( )a+( )b.又 =b， 解得,【拓展提升】用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.【提醒】解题时要熟练运用平面几何的一些性质定理.,【变式训练】如图所示，E,F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，已知 =a, =b, =c, =d，求向量,【解析】方法一：连结AF, a+b， (a+b)，又 =b+c， (b+c). a+ (b+c)， =a+ (b+c)- (a+b)=
8、(a+c).,方法二： =d+a， =a+b, (d+a), (a+b)，可得 (d+a)-d= (a-d). (a-d)- (a+b)=- (b+d).,考向 2 平面向量的坐标运算【典例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1)，则a-2b=_.(2)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行； 其中正确结论的个数是_.,(3)(2013盐城模拟)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且 则向量 =_.【思路点拨】(1)利用向量坐标运算的法则求解.(2)根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证.(3)利
9、用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.,【规范解答】(1)a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).答案：(7,3)(2)由题意得 =(-2,1), =(2,-1)，故 ，又 无公共点，故OCBA，正确； 故错误; =(0，2)= ，故正确; =(-4，0)， =(-4，0)，故正确.答案：3,(3)A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， =(1，8)， =(6，3). =3(1，8)=(3，24)， =2(6，3)=(12，6). (12，6)-(3，24)=(9，-18).答案：(9，-18),【拓展提升】两向量相等的充要条件及应用(1)充要条件：两向量a=(x1,y1
10、)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即 (2)应用：利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而解决求字母的取值、点的坐标及向量的坐标等问题.【提醒】当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即为终点坐标；反之也成立.,【变式训练】已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，O为坐标原点.设 =a, =b, =c，且 =3c, =-2b.(1)求3a+b-3c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.,【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3a+b-3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mb+n
11、c(6mn，3m8n)(5，5)， 解得,考向 3 平面向量共线的坐标表示【典例3】(1)(2013无锡模拟)已知平面向量a=(1,2sin),b=(5cos,3),若ab,则sin 2=_.(2)已知a=(1,0),b=(2,1),当k为何值时，ka-b与a+2b共线.若 2a+3b, =a+mb且A，B，C三点共线，求m的值.,【思路点拨】,【规范解答】(1)ab,13-10sincos=0,10sincos=3,2sincos= ,即sin2= .答案： (2)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b与a+2b共线，2
12、(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得,方法一:A，B，C三点共线，即2a+3b=(a+mb),解得方法二： =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),A，B，C三点共线，8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,【拓展提升】1.向量共线的两种表示形式.abb=a(a0)；abx1y2-x2y1=0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用式.2.两向量共线的充要条件的作用.(1)判断两向量是否共线(平行)，(2)解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知
13、数的值.,【变式训练】(1)若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=_.【解析】a=(-1,x)与b=(-x,2)共线，(-1)2-x(-x)=0，a与b方向相同， 答案：,(2)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则的值为_.【解析】由条件得 =(a-2,-2), =(-2,b-2)，根据三点共线得(a-2)(b-2)=4，整理得2(a+b)=ab，所以 即答案：,【易错误区】忽视平行四边形的多样性致误【典例】(2013常州模拟)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5)，则第四个顶点的坐标为_.【误区警示】解答此题时容易出现的错误是思维定势，认为平行四边形只是如图1所示的一种情形，从而忽视了另外的两种情形导致漏解.,【规范解答】如图2所示，设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).,
