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1、该资料由 友情提供正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，的关系准确量化的表示呢?” 在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角 ,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完 就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题” 这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建
2、立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构教学重点 学难点 证明； 教具准备直角三角板一个一、知识与技能握正弦定理的内容及其证明方法；二、过程与方法同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；三、情感态度与价值观过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间该资料由 友情提供教学过程导入新课来源:如右图，固定边 B，使边 着顶点 C 转动师思考：C 的大小与它的对边 长度之间有怎样的数量关系？生显然，边 长度随着其对角C 的大小的增大而增大师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关
3、系如右图，在 ，设 A,B,C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 = = = ,则 ，作探究 师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当锐角三角形时，设边 的高是 据任意角三角函数的定义，该资料由 友情提供,则 ，同理，可得 当钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作外接圆，在 ,令 ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明 这一关系很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解
4、决此问题，我们一起来看下面的证法. 在,已知 ,作 外接圆,O 为圆心,连结 延长交圆于 B,设 90，C =B， . .理,可得 .i .就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”为下一该资料由 友情提供知识拓展师接下来,理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式 AB=|A|B|中 为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量
5、数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式 0行转化.师这一转化产生了新角 90就为辅助向量 j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量 j,而 j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了 90是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因 .来源:在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得而添加垂直于 的单位向量 j 是关键,为了产生 j 与 、 、 的数量积,量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识
6、点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用 .向量法证明过程:(1)锐角三角形,过点 A 作 单位向量 j 垂直于 ,则 j 与 的夹角为 90-A,夹角为 90A为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,得到该资料由 友情提供)(由分配律可得.j| |j| 0|j| 0 .外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 的夹角为B,可得 .处应强调学生注意两向量夹角是以同
7、起点为前提,防止误解为 j 与 的夹角为 90-C,夹角为 90A .2)钝角三角形,不妨设 A90,过点 A 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 j 与 的夹角为 90得 j +j =j ,C0C, 外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 夹角为90得 . （形式 1）.弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.该资料由 友情提供,我们来进一步学习正弦定理的应用.教师精讲 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 A=（2） 价于 (形式 2). 我们通过观察正弦定理的形式 2 不难得
8、到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. 已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如 ,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本 例 1 就属于此类问题.已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.例题剖析【例 1】在，已知 A=B=A=42.9 三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边 B,若求边 C,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理，C=180-
9、(A+B)=180-(=根据正弦定理，b= 80.1(c= 74.1(法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边 ,也是先利用内角和该资料由 友情提供求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 【例 2】在，已知 A=20=28=40 ，解三角形（角度精确到 1，边长精确到 1 分析:此例题属于 ab 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理， .204为 0B 180，所以 B64或 B116.（1）当 B64时，C =180
10、-（A+B）=180-（40+64）=76 ，C = 30(2）当 B116时，C=180-（A+B）=180-（40+116）=24 ，C= 13(方法引导 通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在,已知 A60,B50,A38, 求 B(精确到 1)和 C(保留两个有效数字). 分析:此题属于 AB 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除 B 为钝角的情形.解：已知 情形,有一解,可应用正弦定理求解角 B 后,利用三角形内角和为 180排除角 B 为钝角的情形.解： ,2810B38或 B142(舍去).C =180-（A+B）=22. C = 12.120法引导 (1)此题要求学生注意考虑问题的全面性 ,对于角 B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围, 已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形. 来源:学科网(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解 .
