《【全程复习方略】2014版高考数学 第五章 第六节 数列的综合应用课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】2014版高考数学 第五章 第六节 数列的综合应用课件 理 苏教版（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 数列的综合应用,数列的实际应用(1)解答数列应用题的步骤.审题仔细阅读材料，认真理解题意.建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.求解求出该问题的数学解.还原将所求结果还原到原实际问题中.,具体解题步骤用框图表示如下：,(2)数列应用题常见模型.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，
2、还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)在等差数列an中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.( )(2)在等比数列an中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.( ),(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对nN*有 ( )(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式2nn时，可以构造函数f(n)=2n-n(nN*)，然后对这个函数求导，研究函数的性质得出所证不等式.(
3、 ),【解析】(1)正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确.(2)正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确.(3)错误. 对n2才有意义.(4)错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.答案：(1) (2) (3) (4),1.一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为_.【解析】每小时传递人数构成数列2，4，8，所以n小时共传递人数 ，n19.答案：19小时,2.设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，
4、则an的前n项和Sn=_.【解析】设数列an的公差为d，则根据题意得(2+2d)2=2(2+5d)，解得d= 或d=0(舍去)，所以数列an的前n项和Sn=答案：,3.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=_.【解析】由等差数列an且a1=9d，得.ak=a1+(k-1)d=(k+8)d，a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k,即(k+8)d2=9d(2k+8)d得k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2(舍去).答案：4,4.已知x0，y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等
5、比数列，则 的最小值是_.【解析】a+b=x+y,cd=xy,答案：4,5.等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为_.【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得q= .答案：,考向 1 等差、等比数列的综合应用【典例1】(2013南通模拟)各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,Sn= (nN*)；(1)求an.(2)令 cn= (nN*),求cn的前n项和Tn.,(3)令bn= +(,q为常数,q0且q1),cn=3+n+(b1+b2+bn),是否存在实数对(,q)
6、,使得数列cn成等比数列?若存在,求出实数对(,q)及数列cn的通项公式,若不存在,请说明理由.,【思路点拨】(1)根据an与Sn的关系求解.(2)分别求c1,c2,cn(n3),再求Tn.(3)把cn用,q表示,根据等比数列的通项公式确定,q的值.【规范解答】(1)a1=S1=a10,a1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.,an0,an-an-1=2,an为等差数列,an=2n(nN*).(2)c1=b6=b3=a3=6,c2=b8=b4=b2=b1=a1=2,n3时,此时,Tn=8+(22+2)+(23+2)+(2n-1+2)=2n+2n
7、,(3)cn=令存在(,q)=(-1, ),cn=4( )n+1.,【拓展提升】解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前n项和以及它们之间的关系，往往用转化与化归的思想来处理.,【变式训练】数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1).(1)求an的通项公式.(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.【解析】(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-
8、1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an，则an+1=3an(n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.,(2)设bn的公差为d,由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d，又a1=1,a2=3,a3=9，由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0,d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.,考向 2 数列的实际应用 【典例2】(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2
9、 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式.(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).【思路点拨】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出a1,a2，以及建立an+1与an间的递推关系式.(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数
10、列an的通项公式an，令am=4 000即可求出d.,【规范解答】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d，a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4 500- d，an+1=an(1+50%)-d= an-d.(2)方法一：由(1)得an= an-1-d= ( an-2-d)-d=( )2an-2- d-d=,=( )n-1a1-d1+ +( )2+( )n-2.整理得an=( )n-1(3 000-d)-2d( )n-1-1=( )n-1(3 000-3d)+2d.由题意，am=4 000,( )m-1(3 000-3d)+2d=4 000,解得故该企业每年上缴资
11、金d的值为 时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.,方法二：由于an+1= an-d，设an+1+= (an+)，化为an+1= an+ ,与an+1= an-d比较可得=-2d，故an+1-2d= (an-2d)，这说明数列an-2d是以a1-2d=3 000-3d为首项, 为公比的等比数列，所以an-2d=(3 000-3d)( )n-1,即an=(3 000-3d)( )n-1+2d.(下同方法一).,【拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表：,(2)准确解决模
12、型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程或者不等式等，在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点.【提醒】解数列应用题要明确问题属于等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn,特别是要弄清项数.,【变式训练】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+ )万元(n为正整
13、数).,(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需要扣除技术改造资金)，求An,Bn的表达式.(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？,【解析】(1)依题意知，数列An是一个以480为首项，-20为公差的等差数列，所以An=480n+ (-20)=490n-10n2,Bn=500(1+ )+500(1+ )+500(1+ )-600=500n+500( )-600=500n+500 -600=500n- -100(nN*).,(2)依题意得，BnAn，即500
14、n- -100490n-10n2,可化简得 g(3)=2,f(4)= g(4)=10,n4,nN*，所以从今年起该企业至少经过4年进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.,考向 3 数列与函数、不等式的综合应用【典例3】(2013南京模拟)已知函数f(x)=ln(1+x)-x，数列an满足：a1= ,ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an).(1)求证：ln(1+x)x.(2)证明数列 为等差数列，并求数列an的通项公式.(3)求证不等式：a1+a2+ann+ln 2-ln(n+2).,【思路点拨】(1)求函数导数,利用函数的单调性证明.(2)根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决.(3)根据(1)(2)的结果分析探究.,【规范解答】(1)f(x)=ln(1+x)-x,f(x)=当-1x0，即y=f(x)是单调递增函数；当x0时，f(x)0，即y=f(x)是单调递减函数.即f(0)是极大值，也是最大值.f(x)=ln(1+x)-xf(0)=0ln(1+x)x,当x=0时取到等号.,
