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1、第五节 数列求和及通项,1.公式法,_,q=1,na1,n2,2.裂项相消求和法把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.3.错位相减求和法(1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.,(2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn,则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，-得：(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1，就转化为根据公式可求的和.,4.其他求和方法,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn=
2、 较为合理.( )(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn= ( )(3)当n2时， ( ),(4)求Sn=a+2a2+3a3+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )(5)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm=mSk.( )(6)如果数列an是公差d0的等差数列，则 ( ),【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知.(2)正确.根据等比数列的求和公式可知.(3)正确.直接验证或倒推可知正确.(4)错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求和.(5)正确.根据周期性可得.(6)正确.
3、直接验证或倒推可得.答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=_.【解析】4a1，2a2，a3成等差数列，4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q,q2-4q+4=0,q=2,S4=15.答案：15,2.等差数列an的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列 的前10项和为_.【解析】因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以Sn=n2+2n,所以 n+2，3+4+5+1275.答案：75,3.数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为Sn，则S10
4、S21S100的值是_.【解析】当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时，an=2(n-1)，故有S10= =60+50=110,S21= =464,S100= 50=10 100.故S10S21S100=9 746.答案：9 746,4.一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，an= ，则这个数列的前2m项的和是_.【解析】所有奇数项的和S1=6m+ =5m2+m，所有偶数项的和S2= =2m+1-2，两部分相加即得.答案：2m+1+5m2+m-2,5.在数列an中，a1= ，Sn为数列an的前n项和且Sn=n(2n-1)an，则Sn=_.【解析】因为Sn=n(2n-
5、1)an，Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1(n2),两式相减Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),即an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),即n(2n-1)-1an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即(2n+1)(n-1)an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2),即 (n2),所以Sn=n(2n-1)an=答案：,考向 1 公式求和法 【典例1】(1)(2013南通模拟)已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和Tn.(2)已知数列an的
6、通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，求其前n项和Sn.【思路点拨】(1)根据数列an的前n项和可得数列an的通项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解.(2)由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分别求解.,【规范解答】(1)当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1=33-2n，an=33-2n(nN*)，即数列an是公差为-2，首项为31的等差数列，令an=33-2n0，则n16，故当0n16时，Tn=Sn=32n-n2；而当n17时，Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16，,即Tn=-32n+n2
7、+2(3216-162)=n2-32n+512，(2)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3，所以当n为偶数时，,当n为奇数时，= ln 3-ln 2-1.综上所述，,【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式.(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.,【变式训练】(1)在等差数列an中，a
8、1=-60，a17=-12,求其前30项的绝对值之和.【解析】设等差数列的前n项和为Sn，前n项的绝对值之和为Sn，由-60+16d=-12得d=3，an=-60+3(n-1)=3n-63，,由此可知当n20时，an2时，Sn=1- bn,Sn-1=1- bn-1,两式相减得bn= bn-1- bn, ,所以bn是等比数列，,(2)cn=anbn=两式相减得：所以,【满分指导】解答数列求和问题【典例】(14分)(2012江西高考)已知数列an的前n项和Sn=- n2+kn(其中kN*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an.(2)求数列 的前n项和Tn.,【思路点拨】,【规范解答】(1)当n=k，kN*时，Sn=- n2+kn取最大值，即8=Sk=- k2+k2= k2，2分故k2=16，因此k=4,3分从而an=Sn-Sn-1= -n(n2).又a1=S1= ,适合an= -n，5分所以an= -n.6分,(2)设bn= ，8分Tn=b1+b2+bn=2Tn= 10分所以Tn=2Tn-Tn 14分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013扬州模拟)已知an为等差数列，a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和，则使得Sn达到最大值的n等于_.【解析】设公差为d,则由题意知an=13-2n,a6=10,a7=-10,n=6时，Sn最大.答案：6,
