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1、第三节 等比数列,1.等比数列及其相关概念,前一项,同一个常数,常数,q,G2=ab,2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_.3.等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=_.(2)当公比q1时,Sn= = .,an=a1qn-1,(nN*),na1,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)满足an+1=qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( )(2)G为a,b的等比中项G2=ab.( )(3)如果an为等比数列，bn=a2n-1+a2n，则数列bn也是等比数列.( )(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数
2、列. ( ),【解析】(1)错误.q=0时an不是等比数列.(2)错误.G为a,b的等比中项G2=ab；反之不真，如a=0,b=0,G=0.(3)错误.如数列1,-1,1,-1，.(4)错误.数列an中可能有小于零的项.答案：(1) (2) (3) (4),1.在等比数列an中，a18，a464，则公比q为_.【解析】由 可得q=2.答案:2,2.在等比数列an中，a1=1，公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5，则m=_.【解析】am=qm-1，a1a2a3a4a5=q10，所以qm-1=q10，所以m=11.答案：11,3.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=
3、S6，则数列 的前5项和为_.【解析】9S3=S6，q1，9 ，即1+q3=9，解得q=2，由等比数列的性质知 是以 =1为首项， 为公比的等比数列，则其前5项和为答案：,4.已知an是等比数列，a2=2,a5= ，则a1a2+a2a3+anan+1=_.【解析】由a5= =a2q3=2q3，解得q= .数列anan+1仍是等比数列，其首项是a1a2=8，公比为 .所以, a1a2+a2a3+anan+1=答案：,5.设等比数列an的前n项和为Sn，若 =3，则 =_.【解析】设数列an的公比为q ,则 1q33q32,于是答案：,6.已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5
4、=22n(n3)，则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n-1=_.【解析】由a5a2n-5=22n(n3)得an2=22n，又an0，an=2n，log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+(2n-1)=n2.答案：n2,考向 1 等比数列的基本运算 【典例1】(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=_.(2)(2012辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列an的通项公式an=_.,【思路点拨】(1)根据a4+a7=2，a5a6=-8,列方程组求出首项
5、和公比的三次方，根据通项公式计算，或者根据等比数列的性质求解.(2)根据a52=a10,2(an+an+2)=5an+1列方程解出首项和公比，再代入等比数列通项公式得出结果.,【规范解答】(1)方法一：设数列an的公比为q.由题意，或 解得 或当 时，a1a10a1(1q9)1(2)37；当 时，a1a10a1(1q9)(8)1+(- )37.综上，a1a107.,方法二：因为an为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，又a4+a7=2，所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.根据等比数列性质，a1,a4,a7,a10也成等比数列.若a4=4,a7=-2，得a1=-8,a10=1，a
6、1+a10=-7；若a4=-2,a7=4，得a10=-8,a1=1，仍有a1+a10=-7.答案：-7,(2)a52=a10,(a1q4)2=a1q9,a1=q,an=qn,2(an+an+2)=5an+1,2an(1+q2)=5anq,2(1+q2)=5q,解得q=2或q= (舍去)，an=2n.答案：2n,【拓展提升】1.等比数列基本运算方法(1)使用两个公式，即通项公式和前n项和公式.(2)使用通项公式的变形：an=amqn-m.2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.,【变式训练】(1)(2013泰州模拟
7、)数列an中，an+1=3an+2(nN*),且a10=8，则a4=_.【解析】由an+1=3an+2，得an+1+1=3(an+1)，即数列an+1是公比为3的等比数列，所以a10+1=(a4+1)310-4，所以a4+1= ，所以a4=- .答案：-,(2)在公比为整数的等比数列an中，若a1+a4=18,a2+a3=12,则该数列的前8项和等于_.【解析】设公比为q， 即 ，即2q2-5q+2=0，由于q为整数，故得q=2，代入a1+a4=18，解得a1=2，故S8= =510.答案：510,考向 2 等比数列的判定与证明【典例2】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，
8、证明数列an-1为等比数列，并求出数列an的通项公式.【思路点拨】建立an,an+1之间的关系式，然后利用定义法证明,再求出数列an-1的通项公式,可得an的通项公式.,【规范解答】由Sn=n-5an-85,nN* ，可得：a1=S1=1-5a1-85，即a1=-14.同时Sn+1=(n+1)-5an+1-85 ，从而由-可得：an+1=1-5(an+1-an)，即an+1-1= (an-1),nN*，从而an-1为等比数列，首项为a1-1=-15，公比为 ，通项公式为an-1=-15( )n-1，从而an=-15( )n-1+1.,【互动探究】把本例中“Sn=n-5an-85”改为“Sn=2
9、an-2n”，试证明：an+1-2an是等比数列.【证明】因为a1=S1,2a1=S1+2，所以a1=2，由a1+a2=2a2-4得a2=6.由于Sn=2an-2n，故Sn+1=2an+1-2n+1，后式减去前式得an+1=2an+1-2an-2n，即an+1=2an+2n，所以an+2-2an+1=2an+1+2n+1-2(2an+2n)=2(an+1-2an)，所以数列an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.,【拓展提升】等比数列的判断方法,【提醒】只满足an+1=qan(q0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a10.,【变式备选】已知数列an的首项a1= ，an+1
10、= ，n=1,2,3,，证明数列 -1是等比数列，并求an的通项公式.【解析】an+1= ， ，又a1= ，数列 -1是以 为首项， 为公比的等比数列.此时,考向 3 等比数列性质的应用【典例3】(1)(2013淮安模拟)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是_.X+Z=2Y； Y(Y-X)=Z(Z-X)；Y2=XZ； Y(Y-X)=X(Z-X).,(2)设an是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a11,a99a100-10, 0，给出下列结论：0q1；T1981；a99a1011；使Tn0及数列的其他性质，逐个分析判断
11、四个结论的对错.【规范解答】(1)由于等比数列an中Sn=X,S2n=Y,S3n=Z，根据等比数列的概念，当公比不等于-1时，对应的Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，即X,Y-X,Z-Y成等比数列，则有(Y-X)2=X(Z-Y)，即Y2-XY=XZ-X2，即Y(Y-X)=X(Z-X).答案：,(2)根据等比数列的概念，如果等比数列的公比是负值，则其连续两项的乘积是负值，根据a99a100-10，可知该等比数列的公比是正值，再根据 1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0q1,a1001，又a99a101=a10021，故不正确；T199=a1a2a100a198a199
12、=(a100)199k,m,kN*)；m+n=k+laman=akal,m+n=2kaman=ak2 (m,n,k,l为正整数，公比q1).(3)和的性质：若其前n项和为Sn，则在q-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,成等比数列.(4)其他性质：如果an为等比数列，根据等比数列的定义可知数列a2k-1,a2k,a3k-2,a3k-1,a3k等都是等比数列.,【变式训练】(1)在等比数列an中，a5a11=3,a3+a13=4，则 =_.【解析】在等比数列an中，a5a11=a3a13=3,a3+a13=4,a3=1,a13=3或a3=3,a13=1,当a3=1,a13=
13、3时，q10=3, =q10=3,当a3=3,a13=1时，q10= , =q10 .答案：3或,(2)设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的_条件.【解析】若已知a1a2，则设数列an的公比为q，因为0a1a2，所以有0a11,又a10，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列且a10 ，则公比q1，所以a1a1q，即a1a2，所以a1a2是数列an是递增数列的充分必要条件.答案：充分必要,【创新体验】数列函数交汇创新题【典例】(2013中山模拟)已知：函数f(x)在(-1,1)上有定义，f( )=-1，且对x，y(-1,1)有f(x)+f(y)=f( ). (1)试判断函数f(x)的奇偶性.(2)对于数列xn，有x1= ,xn+1= ,试证明数列f(xn)成等比数列.(3)求证：,
