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1、第五章 数 列第一节 数列的概念,1.数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义按照_排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项.数列是特殊的函数，它的特殊性主要体现在定义域为_(或它的有限子集1，2，kkN*).,一定次序,正整,数集N*,(2)数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列项数_的数列；无穷数列项数_的数列.(3)数列的通项公式如果数列an的_与_之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,有限,无限,第n项,序号n,通项公式法数列的表示方法 _ _ 2.数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任何一项an与它的_间的
2、关系可以用一个式子来表示，即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式.,列表法,图象法,前一项an-1(或前几项),3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn， _， n=1， _，n2.,则an=,S1,Sn-Sn-1,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(3)已知an+2=f(an+1,an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1,a2.( ),(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an+1=Sn+1
3、-Sn.( )(5)数列是函数，因此数列也可以具有奇偶性.( ),【解析】(1)错误.不是所有的数列的第n项都能使用公式表达.(2)正确.根据数列的前几项归纳出的数列通项公式可以有多个.(3)错误.如已知an+2=an+1+2an，则只要知道任意连续两项都可以确定这个数列.(4)正确.根据数列的前n项和的定义可知.(5)错误.数列虽然是函数，但其定义域是正整数集合或其有限子集，根据函数奇偶性的定义可知数列不具备奇偶性.答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.已知数列 ,，根据前三项给出的规律，则实数对(a,b)是_.【解析】由a-b=8,a+b=11,解得答案：,2.已知数列an的通
4、项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的第_项.【解析】令log2(n2+7)=5，则n2+7=25=32,n2=25，由nN*得n=5.答案：5,3.数列an的通项公式是an= ，若该数列的前m项之和为9，则m=_.【解析】由题意可知an= ，Sm= -1=9，m=99.答案：99,4.数列an中，a1=1，对所有的nN*，都有a1a2a3an=n2，则a3+a5=_.【解析】当n2时，可得a1a2a3an-1=(n-1)2，再由a1a2a3an=n2可得，an= ，将n=3和n=5代入，答案：,5.已知数列an的前n项和Sn=2n-3，则数列an的通项公式是_.【解析】当n=1时
5、，a1=S1=-1；当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1.故数列an的通项公式是an=答案：an=,-1,n=1,2n-1,n2.,-1,n=1,2n-1,n2,6.已知数列an,Sn为an的前n项和，且有Sn=2an-1,则an=_.【解析】当n=1时，a1S1=2a1-1,a1=1.Sn=2an-1,当n2时，Sn-1=2an-1-1,Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-2an-1,an=2an-1, =2,an是首项为1，公比为2的等比数列，可得an=2n-1,nN*.答案：2n-1,考向 1 由数列的部分项得数列的通项 【典例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个
6、通项公式：(1)-1,7,-13,19,.(2)0.8,0.88,0.888,.(3),【思路点拨】(1)正负相间可以使用(-1)n进行控制，只要再找出数列1，7，13，19，的项的规律即可.(2)小数点后数字的位数可以使用 控制，只要找出数列8,88,888，的组成规律即可.(3)分别找出分子分母的组成规律.,【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),an= (1- ).(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4
7、项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为原数列化为an=(-1)n,【拓展提升】部分特殊数列的通项(1)a,aa,aaa,aaaa,，其中1a9,aN*.方法一：aaa= 999= (10n-1)；方法二：aaa=a10n-1+a10n-2+a10+a，根据等比数列的求和公式即得结果为 (10n-1).,n个a,n个9,n个a,(2)0.a,0.aa,0.aaa,0.aaaa,，其中1a9,aN*.解决方法同(1)， aaa实际上0.aaa=,n个a,(3)a,b,a,b，其中ab.解决的方法是使用均值进行调整，故a,b,a,b,，即 ，所以数列的通项为,【变式训练】根据数列的前几项，写出各数
8、列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，.(2) .(3) .,【解析】(1)各项减去1后为正偶数,an=2n+1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，.(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值的分母组成数列n,分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1.an=,考向 2 Sn与an的关系的应用 【典例2】(1)(2013南通模拟)设数列an是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn=(an-1)(an+3),则an=_.(2)(2012大纲版全国卷改编)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，
9、则Sn=_.【思路点拨】(1)根据已知等式求出a1，然后根据n2时an=Sn-Sn-1求an.(2)根据nN*，都有an+1=Sn+1-Sn，把Sn=2an+1化为Sn+1,Sn之间的关系，求出数列Sn的通项.,【规范解答】(1)4Sn=(an-1)(an+3)(nN*),令n=1得4a1=(a1-1)(a1+3).a1=3或a1=-1(舍).当n2时，an=Sn-Sn-1= (an-1)(an+3)-(an-1-1)(an-1+3)整理得an-an-1=2.数列an是以3为首项，以2为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.答案：2n+1,(2)因为an+1=S
10、n+1-Sn,所以由Sn=2an+1，得Sn=2(Sn+1-Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 ，所以数列Sn是以S1=a1=1为首项，q= 为公比的等比数列，所以Sn=( )n-1.答案：( )n-1,【互动探究】若本例题(2)中，结论改为求an，如何求解？【解析】根据原题的结果Sn=( )n-1.当n=1时，a1=1；当n2时，an=Sn-Sn-1= ( )n-2，n=1时不适合这个公式.所以,【拓展提升】已知Sn求an时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n=1和n2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n2.(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适
11、合“an式”，则需统一“合写”.(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即【提醒】解题中不要忘记对n=1时的验证.,【变式备选】已知数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.【解析】(1)由题可知，当n=1时，a1=S1=212+31=5，当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1.当n=1时，41+1=5=a1,an=4n+1.,(2)当n=1时，a1=S1=3+1=4，当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3
12、n-1+1)=23n-1.当n=1时，231-1=2a1，,考向 3 简单的递推数列 【典例3】(1)如果数列an满足a1=2，an+1=an+2n，则数列an的通项公式an=_.(2)若数列an满足a1=1,an+1=2nan，则数列an的通项公式an=_.(3)若数列an满足a1=3，an+1=3an+2，则数列an的通项公式an=_.,【思路点拨】(1)即an+1-an=2n，采用叠加的方法.(2)即 ，采用叠乘的方法.(3)采用两端凑常数的方法转化为等比数列.【规范解答】(1)由于an+1-an=2n，故a2-a1=21,a3-a2=22,，an-an-1=2(n-1),将这n-1个等
13、式叠加得an-a1=21+2+(n-1)=n(n-1)，故an=n2-n+2.答案：n2-n+2,(2)由于 ，故 将这n-1个等式叠乘得 ，故答案：(3)设an+1+=3(an+)，即an+1=3an+2，与已知an+1=3an+2比较，只要取=1，即可把an+1=3an+2化为an+1+1=3(an+1)，即得到数列an+1是首项为a1+1=4，公比为3的等比数列，故an+1=43n-1，所以an=43n-1-1.答案：43n-1-1,【拓展提升】典型的递推数列及求解方法,其中(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是：设an+1+=p(an+)，即an+1=pan+p-，与
14、an+1=pan+q比较即可知只要(2)an+1=pan+qpn+1(p0,1,q0)的求解方法是两端同时除以pn+1，即得 =q，数列 为等差数列.,【变式训练】(1)设数列an的前n项和为Sn，已知2an-2n=Sn，数列an的通项公式an=_.【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1，相减整理得an+1=2an+2n，即 ，即数列 是首项为1，公差为 的等差数列，故 ，故an=(n+1)2n-1.答案：(n+1)2n-1,(2)已知数列an中，a1=1,an+1= ,bn= ，则数列bn的通项公式bn=_.【解析】由于an+1-2= -2= ，+2，即bn+1=4bn+2，bn+1+ =4(bn+ ).又a1=1，故所以bn+ 是首项为- ，公比为4的等比数列.bn+ =- 4n-1，bn=- 4n-1- .答案：- 4n-1-,
