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1、第七节 三角函数的最值及应用,1.正弦、余弦函数的值域、最值及条件,-1，1,-1，1,1,1,2k(kZ),-1,-1,+2k(kZ),2.y=Asin(x+)(A0,0)的最值及对应条件(1)值域：_.(2)最大值：_,取得最大值的条件x=_.(3)最小值：_，取得最小值的条件x= _.,-A，A,A,-A,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)函数f(x)=sin xcos x，xR的最大值就是sin x与cos x都取1时取得，即f(x)max=1.( )(2)函数f(x)=sin x+cos x,xR的最小值为-1.( )(3)f(x)=sin2x的最小值为0，此时x
2、=k,kZ.( )(4)三角函数的最值问题通常是结合图象求解，不能利用函数的单调性解决.( ),【解析】(1)错误.因为 显然 故f(x)的最大值是(2)错误.因为又xR, 即最小值为(3)正确.当sin x=0时，f(x)取最小值，此时x=k,kZ.(4)错误.三角函数的最值问题，当给定区间时，除利用图象外也可以利用函数的单调性求解.答案：(1) (2) (3) (4),1.函数f(x)=-2sin x+1,x0,的值域为_.【解析】x0,sin x0,1,-2sin x-2,0,-2sin x+1-1,1.答案:-1,1,2.函数 的值域为_.【解析】由已知函数可化为f(x)=1+cos
3、2x，cos 2x-1,1,1+cos 2x0,2.答案:0,2,3.函数f(x)=-2cos 2x取最大值时x的集合为_.【解析】f(x)max=2,此时cos 2x=-1,故2x=2k+,kZ,所以答案:,4.函数 的最大值为_，此时x=_.【解析】当即 时，f(x)max=2.答案：,考向 1 可化为y=Asin(x+)+k型的值域问题 【典例1】(1)(2013淮安模拟)函数的最大值为_.(2)已知函数的最大值为2，则常数a的值为_.,(3)设aR, 满足求f(x)的解析式；求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,【思路点拨】(1)利用诱导公式转化后，再利用辅助角公式化成y=Asi
4、n(x+)的形式求解.(2)先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(x+)的形式，再利用最大值求得a.(3)将f(x)的关系式展开合并再利用 可求a，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从而得f(x)的解析式.利用x的范围及函数单调性求最值.,【规范解答】(1)由已知得y=2cos x+sin 答案:,(2)因为 (其中 ),所以 解得答案:,(3)f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x由 得解得因此, 当 时, f(x)为增函数；当 时, f(x)为减函数，所以f(x)在 上的最大值为又因为故f(x)在 上的最小值为,【互动探究】若将本例(1)中的函
5、数解析式改为“ ”，又将如何求f(x)的最大值？,【解析】由已知故 此时sin x=1,故f(x)的最大值为答案:,【拓展提升】 在解决三角函数性质问题中的应用(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为Asin x+Bcos (其中 )的形式去讨论.这样的变形，主要是角的确定.(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质.,【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当为特殊角，即 的值为1或 时要熟练掌握.对是非特殊角时,只要求会求最值即可.,【变
6、式备选】已知函数 (0)的最小正周期为.(1)求的值.(2)求函数f(x)在区间 上的最大值与最小值.,【解析】(1) 因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以 解得=1.,(2)由(1)得因为所以所以所以f(x)的最大值为 最小值为0.,考向 2 可化为二次函数型值域的问题 【典例2】(1)(2013常州模拟)设则sin -cos2的值域为_.(2)求函数y=f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.,【思路点拨】(1)根据所给的函数式，将所求函数式化为关于sin 的二次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最值.(2)先用二倍角公式统一函数名和角，然后利用数形结合及分类讨
7、论的思想求解最值.,【规范解答】(1) sin -cos2=sin -1+sin2=当sin =1时，上式取得最大值当 时，上式取得最小值故答案为答案:,(2)y=f(x)=2-4asinx-cos2x=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.,当a-1时，如图.有y最大=g(1)=3-4a,y最小=g(-1)=3+4a.,当-1a1时，如图.有y最小=g(a)=1-2a2,y最大为g(-1)和g(1)中的较大者，即y最大=3-4a(-1a0)或y最大=3
8、+4a(01时，有y最大=g(-1)=3+4a,y最小=g(1)=3-4a.综上所述，,【拓展提升】可化为二次函数型的三角函数求值域的思想(1)对于y=asin x+bcos 2x(a,b0)型的函数，求解时可利用“cos 2x=1-2sin2x”把函数转化成关于“sin x”的二次函数求最值.(2)化简后，若对称轴不确定，还需结合图象分类讨论.,【提醒】求最值时要注意sin x的范围.,【变式训练】求函数f(x)=sin x-cos2x+1,xR的最值及此时x的取值.【解析】由已知得f(x)=sin x-(1-sin2x)+1xR,sinx-1,1,故此时,此时或故f(x)max=2,此时
9、此时 或,考向 3 实际应用中的最值问题 【典例3】(2013南通模拟)如图，一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1.在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角EOF始终为 设AOE=，探照灯照射在长方形区域ABCD内部的面积为S.,(1)当 时，写出S关于的函数表达式.(2)当 时，求S的最大值.(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间)，且转动的角速度大小一定.设AB边上有一点G，且 求点G在“一个来回”中被照到的时间.,【思路点拨】(1)画出示意图，分 与 两种情况分别求解.(2)利用第(1)问0
10、 时的结果进行分析可求面积的最大值.(3)利用题意，可求“一个来回”OE旋转的角度，确定点G被照到时间是OE没有离开OG之前和回来时OE从OG到OA共两次，从而可解.,【规范解答】(1)过O作OHBC，H为垂足.当 时，E在边AB上，F在线段BH上(如图)，此时，S=S正方形OABH -SOAE -SOHF,当 时，E在线段BH上，F在线段CH上(如图)，此时，,综上所述，,(2)当 时，即 0tan 1,即11+tan 2. 当 时，S取得最大值为,(3)在“一个来回”中，OE共转了其中点G被照到时，OE共转了则“一个来回”中，点G被照到的时间为 (分钟).,【拓展提升】利用三角函数求平面区
11、域面积最值的步骤(1)选定某个变化的角作为自变量.(2)将面积S表示成这个角的函数.(3)将问题转化为求三角函数的最值.,【提醒】自变量的取值范围要根据实际情况而定，求函数的最值可通过三角变换来解决.,【变式训练】(2013淮安模拟)如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R，MOP=45，OB与OM之间的夹角为.,(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.(2)求当为何值时，矩形ABC
12、D的面积S有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示),【解析】(1)由题意可知，点M为 的中点，所以OMAD.设OM与BC的交点为F，则BC=2Rsin ，OF=Rcos .AB=OF- AD=Rcos -Rsin .所以S=ABBC=2Rsin (Rcos -Rsin )=R2(2sin cos -2sin2)=R2(sin2-1+cos2),(2)因为 则所以当 即 时，S有最大值.故当 时，矩形ABCD的面积S有最大值,【满分指导】三角函数的最值问题 【典例】(14分)(2013南京模拟)已知向量 且 (1)求ab及|a+b|.(2)若f(x)=ab-2|a+b|的最小值是 求的值.,【思路点拨】,【规范解答】(1)ab= ，2分|a+b|= 5分 .7分,ab,(2)f(x)=cos 2x-4cos x,即f(x)=2(cos x-)2-1-22,9分 ,()当1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4,由已知得 解得 这与1相矛盾，综上所述， 为所求.14分,
