数学与应用数学毕业论文-秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究

《数学与应用数学毕业论文-秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学毕业论文-秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究31秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究( 莆田学院数学系 指导教师: )摘 要:本文主要采用 Jordan 标准形的方法，极小多项式的理论，从矩阵的秩幂等性出发来研究其幂等性,沟通了矩阵的秩幂等性与幂等性.本文还进一步刻画了秩幂等矩阵与幂等矩阵.关键词:秩幂等矩阵 幂等矩阵矩阵的秩 Jordan 标准形极小多项式Abstract:In this paper, applying the method of the Jordan normal canonical and the minimum multinomial theory，we begin with

2、 the rank-idempotent matrices ,and establish a bridge between rank-idempotent matrices and idempotent matrices .Also we further the discusses of idempotent matrices and rank-idempotent matrices . Keywords: Rank-idempotent matrix Idempotent matrix Rank of matrix Jordan normal canonical minimum multin

3、omial.1.引言为任意数域, 为复数域. 表示数域FCmnF上所有 矩阵组成的集合. 表示 上的mn维列向量组成的 维线性空间. 表示 阶单nnE位矩阵. , 表示 的nARAA值域, 表示 的核子空0NF间. 表示 的秩. 表示 的 次方幂，rm在本文总规定 是自然数.特别地， 是可逆矩A阵时, 有意义，且 .0A0E定义 1. 设 对任意,nF,m， ，则称 为 次幂等矩阵.1m1m注:我们之所以强调幂等指数的最小性,是因为存在矩阵 ,满足 但 .例如A3,2A.为了更细致的刻画幂等矩阵,我01们定义了 次幂等矩阵. m定义 2. 设 , 则称 为 幂nAF,mA等矩阵. 若 ,则简称

4、 为幂等矩阵.2现有文献1-479-13都是讨论满足条件的矩阵 的相关性质.这些文献并未强调mA幂等指数的最小性.为了更广泛的讨论幂等矩阵,我们定义了 幂等矩阵.注:定义 1 与定义 2 的区别是在定义 1 中强调幂等次数的最小性,在定义 2 中只要求矩阵满足条件 即可.mA定义 3 .设. ,满足 则称nF2rA为为秩幂等矩阵. 注:在后文的定理 2 中我们证明了在本质上就是mrAZ故在此处不需再像定义 2 那样定义2秩幂等矩阵.因为目前文献对幂等矩阵的定义都是满足定义 2 的矩阵.而 就简称为幂等2A矩阵.定义 3 中定义秩幂等矩阵是很自然的,因为只要 与 的秩相等,就称其为秩幂等矩阵 .

5、2A定义 4. 设 满足 且,nF,ml, , ,12m12012llA,则称 为 次幂等矩阵.ll注:这样定义的矩阵 是自身逐次乘方后首次出现 与前面的 相等的矩阵.lAm秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究32定义 5. 设 ,若存在自然数 使当nAF,ml时 成立,则称 为 幂等矩阵.lml,l注:这在粗略的只讨论满足条件 的矩lA阵 时是可取的.定义 4 强调了幂等次数的最小性,而且定理5 只是讨论满足条件 的矩阵.ml本文将分别对 次幂等矩阵与 幂等,l矩阵进行讨论.定义 6. 设 ，若存在自然数 使nAF,ml且对 有 ,mlrl1则称 为 次秩幂等矩阵.1l,l定义 6 比定义

6、 3 更严格.定义 3 中包含了可逆矩阵,而特别的在定义 6 中令 则1m本质为 且lrA2rA也即不包括可逆矩阵.0定义 7. 设 ,次数最低的,首项系nF数为 1 的,以 为根的多项式叫做 的极小多项式.记为 .Amx关于 幂等矩阵(是指满足条件 的mA矩阵.这与定义 1 中的 次幂等矩阵不同,与定义 2 中的 幂等矩阵相同,并不强调幂等次数的最小性)的刻画已有不少文献: 1, 2, 3, 4, 7, 9,10,11,12,13.其中文9-13都是从秩的等式去刻画.文1-3给出了三幂等矩阵(满足 )的3A不同形式的等式.命题 1 (见文1,( )式)42设 , , 则nAF32rEn1.

7、命题 2 (见文2,推论 1) 设 , , 则n3A()()rr();rEAn1.2 ()rA； ()rErn1.3 ；2AE.4 注(1.1)式是大家所熟知的结论.可通过矩阵初等变换的方法证得.其中(1.3)式中不正确.反例:令 满()rAEnAE足 ,3()2rn命题 3 (见文3,( )( )式) 10设 , 则nAF322.rrArA特别地,若 则有 22.rr文 4-5 给出了一般的 幂等矩阵(满足m)的等价刻画.mA命题 4 (见文4定理 3.1)设 , 为正整数，则nF1mrAE12mAnr命题 5 (见文4推论 1)设 , 为正整数, 则对任意的自nAF然数 有,lklmrE如

8、果 .1mA命题 6(见文5( )式)2.1设 , 则nF,fxgFx秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究33其中，rfArgrdArm,dxfxmg利用此命题而易得 1 .mArAEn以上这些命题都可通过用分块矩阵初等变换的方法证得.文6-8主要从矩阵的值域 ,核子空间与线性空间 的关系来刻画幂等矩阵.主要结果如下:nF命题 7 (见文6,命题 4,5,7,8)为幂等矩阵,则 A(1) ;NREA(2) ;(3) ;0(4) nRAEN.RA命题 8 (见文7,命题 9)设 阶方阵 的秩为 , 为幂等矩阵,则存nAr在加逆矩阵 , 使C.10rEP命题 9 (见文8,推论 1)设 为数域

9、上的 阶方阵,则下列命题等AFn价:(1) ;2(2) ; NRE(3) .()rAn命题 7-9 通过线性变换的方法结合维数公式可得证.文9首先用两种不同的方法建立了二阶幂等矩阵的表现定理,进而对一般幂等矩阵作出刻画.命题 10 (见文9,定理 1)是二阶矩阵,则 是幂等矩阵,当且仅当 是AAA零矩阵或单位矩阵,或 有以上之表现(1)uvw其中 为任意复数 且 ., (1)uvw命题 11 (见文9,定理 2)是 阶幂等矩阵,当且仅当存在 阶矩阵Ann及 阶(0,1)对角形矩阵 ，使得PJ.1P文10利用线性代数的方法研究秩幂等矩阵的性质,得到了秩幂等矩阵的一些充要条件,揭示了秩幂等矩阵 的

10、值域,核子空间与 的AnF联系.命题 12 (见文10,定理 1)如果 ,那么下列各条等价:nF(1) 是秩幂等矩阵;A(2) ; ,mrZ(3) , ;R(4) , .mNA这个定理的核心结果是:,结果(3),mr2rA(4)都可由维数公式易得.而核心结果由引理 9可证.命题 13 (见文10,定理 2)如果 ,那么下列各条等价:nAF(1) 是秩幂等矩阵;(2) ;()nRN(3) ;(4) ()(),nmlFA秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究34.,mlZ此命题的核心结果是: 2rA.由引理 9,及由大空间()nFRAN与子空间的关系可证得,它本质的刻画了其他结果.而(4)由命题

11、12 中的(3),(4)直接推得.命题 14 (见文10,定理 1)如果 ,那么下列各条等价:nAF(1) ;2r(2) 存在可逆方阵 ,使得TD10A其中, ;r(3) 存在可逆方阵 ,使得 ;K2A(4) 的特征值 的几何重数与代数重数相A0等.此命题由引理 9 及扩基的方法再加以适当的计算而得到.命题 15 (见文11,定理 5)设 为 幂等矩阵的特征值,则 ,ml 0或为 次单位根.l命题 16 (见文11,定理 7)设 , 为 的最小多项式,则nAF)Ax为 幂等矩阵,当且仅当 .ml lmAx文1-5都是从幂等矩阵出发来研究其秩的等式,同时用矩阵的秩去刻画矩阵的幂等性.而文10则首

12、次提出了秩幂等矩阵的概念,并给出了一些等价刻画.我们将从反面着手,从矩阵秩的幂等性出发来研究矩阵的幂等性.上述文献大多集中在研究二幂等矩阵与三幂等矩阵(其研究并不强调幂等次数的最小性,即满足定义 2 的矩阵).而我们将研究一般的 次幂等矩阵与更,ml为一般的 幂等矩阵, 秩幂等矩阵与ml,ml次秩幂等矩阵以及它们之间的联系.,l由于在后文中我们证明了矩阵的秩的性质与数域是无关的.所以我们采用 Jordan 标准形的方法与极小多项式的理论来研究.这是与上述文献中的方法不同的. 我们主要的工作有以下几个方面.的本质.文10利用引理 9 证mrA明,给出了其等价刻画.而我们用 Jordan 标准形的

13、方法来研究,进一步指出 本质上mrA就是 ,也即只需研究2rA的情况就可以了.在此基础上找到 过渡到2rA的充要条件,沟通了秩11,mA幂等矩阵与 次幂等矩阵.由于 ,但2()()mrArA与 有所不同.为此本()lAst文进一步刻画 次秩幂等矩阵的特征.,过渡到 的充要条件.mlrmlA此外本文还指出了所讨论的这几个方面之间的关系.2.引理引理 1. 矩阵 是 次幂等矩阵nAF,ml当且仅当与 相似的矩阵是 次幂等矩阵.证明: 设 且 ( ).mlA12mA12l与 相似, 则B存在 ,使得,0nPC1AP秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究35111mmBPAPAB且 .12否则 ,m由

14、 得 111 21 12 211mmAPBPBPA这与 矛盾.2m同理可证.(因为相似关系是等价关系,具有自反性.) 引理 2. 矩阵 为 秩幂等矩阵,nAFml当且仅当与 相似的矩阵的矩阵 是nBC次秩幂等矩阵.,ml证明: 1）设 ,且mlrA与 相似, 则11()(,mlrAB存在 使得 0nPC.1llB所以 llrA则 , 所以1mPmrBAllrBr故 .mlr2）往证 1mlrB否则 1lrB.mmrA， 由 1）的证明过程1P1P知 mlrA定理 1. 矩阵 的幂等性与秩幂等性不随数域的改变而改变.证明: 设 为任意数域, 为复数域.FC1) 设 在 上的秩为 ,则Ar存在 , , 使得,nPQF0,rE又 故C,nnC故 在 上的秩也为 .r2) 设 在 上的秩为 ,则 在 的秩也为AF.r否则, 在 的秩为 , ,由 1)中的证F1r明知 在 上的秩为 , ,这与假设矛盾.AC3) 矩阵的幂等性不随数域的改变而改变.证明显然.(因为矩阵方幂实质是矩阵中元素的运算,数的四则运算与数域无关)综合 1),2),3)知,矩阵幂等性与秩幂性不随数域的改变而变. 引理 3. 12 设 ,则存在可逆方阵nAF,使得 nP