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1、第 1 页 共 11 页数学分析下册期末考试模拟试题（二）一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）1、累次极限 _20limyxy2、设 ，则全微分 _sin(2)uedu3、设 ，其中 ， ，则,zfvxyv_y4、椭球面 在 处的法线方程是2236xyz(1,)_5、设曲线 为抛物线 从 到 的一段，则曲线积分L2x(0,)A(,2)B_Lxdy6、格林公式 (,)(,)_LDFxydGxydxy7、交换积分顺序后， _10,xf8、设 是以原点为中心， 为半径的上半球，则 _VR4Vxyz二、单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）1、下列区域中，属于有界闭区域的是（ ）（A） ；
2、（B）2(,)1()xyy；(,)23（C） ； （D）, 22(,),xyyx得分评卷人第 2 页 共 11 页2、下列关于二元函数 的论断中，错误的是（ ）(,)fxy（A）若 关于 的偏导数不存在，则 一定不可微；,f (,)fxy（B）若 的两个偏导数都存在且连续，则 一定可微；（C）若 的两个累次极限都不存在，则 的重极限也不存(,)fxy,f在；（D）若 的两个累次极限都存在但不相等，则 的重极限也不存,f (,)fxy在；3、设 ，则点 处，梯度 等于（ ）23(,)fxyzyz0(2,1)P0gradfP（A） ； （B） ；1(,)（C） ； （D ）0,43144、方程组
3、在 的雅可比行列22(,)10FxyuvxyG(2,)式中，等于零的是（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）(,)xu(,)xv(,)FGyu(,)Fyv5、已知 ，则 （ ）1252（A） ； （B） ； （C） ； （D）34346、设 是以原点为中心， 为半径的右半圆周，曲线积分 的L 2Lxyds值是（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）20247、设函数 和 是定义在单连通闭区域 上的连续函数，且具(,)PxyQ(,)有一阶连续的偏导数。若曲线积分 与路线无关，则（ ）QLPdxy（A）存在一个函数 ，使得 ；(,)uxyu（B） ，其中 是 内任意一条光滑曲线；
4、Q0LPdD考生答题不得过此线密封线 任课教师：教学班号：姓名： 学号：装订线第 3 页 共 11 页（C） ； （D）以上说法都正确.QPxy三、计算题（每小题 8 分，共 56 分）1、计算重极限2(,)0,sin()lmxyy2、求函数 的极值.2(,)5610fxyxy3、已知方程组 能惟一确定函数 和 ，20xuyv(,)uxy(,)vxy求 .,xyuv第 4 页 共 11 页4、计算曲线积分 ，其中 是以 为半径，圆心在原点的右2LxydxLa半圆周从最上面一点 到最下面一点 .AB5、计算二重积分 ，其中 为由直线 ， 及Ddxy2yx1所围成的三角形区域。3xy考生答题不得过
5、此线密封线 任课教师：教学班号：姓名： 学号：装订线第 5 页 共 11 页6、计算二重积分 ，其中21Dxyd2:1Dxy7、应用高斯公式计算曲面积分 ，其2()()SxdyzdzxdyA中 是立方体 表面的外侧。S0,xyza四、应用题（每小题 7 分，共 14 分）1、将正数 分解为三个正数，使这三个正数的倒数之和最小。a得分评卷人第 6 页 共 11 页2、求抛物面 与圆锥面 所围成的立体 的体积。2zxy2zxyV参考答案及评分标准一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）1、 ； 2、 ； 3、 ；cos()cos(2)yyyxedxeduvxf4、 ； 5、2； 6、 ；13xy
6、z GFy7、 ； 8、 .10(,)ydfx 3R二、单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）第 7 页 共 11 页三、计算题（每小题 8 分，共 56 分）1、计算重极限2(,)0,sin()lmxyy解： （2 分）222(,)0, (,)0,isi()llxyxyxy而 （4 分）2(,)0,sin)l1xy当 时， ， ,)2210xyx所以， （6 分）2(,)0,limxy故 （8 分）222(,)0, (,)0,sinsin()ll 0xyxyyx2、求函数 的极值.2(,561f解：由方程组 10xyf得函数 的稳定点 . （2 分）f(3,)P又由于 ， ， （5 分）
7、02xA0()xyBf0()1yCfP注意到， ， （6 分）2C因此， 在点 取得极小值 .又 处处存在偏导数，故f0P(3,1)8ff为 的惟一极值点。 (3,1)（8 分）第 8 页 共 11 页3、已知方程组 能惟一确定函数 和 ，20xuyv(,)uxy(,)vxy求 .,xyuv解：方程组关于 求偏导，x（2 分）120xxyvu解此方程组得， ， （4 分）4xvy24xuv方程组关于 求偏导，（6 分）201yyuvx解此方程组得， ， （8 分）24yuv2yxv4、计算曲线积分 ，其中 是以 为半径，圆心在原点的右2LxdLa半圆周从最上面一点 到最下面一点 .AB解：右半
8、圆周从最上面一点 到最下面一点 的参数方程为，其中 从 到 . （3 分）cosinxay2于是，所求曲线积分（5 分）224242(cosincosin)Lxydxaad（7 分）2 242iid （8 分）244(1cos)aa第 9 页 共 11 页5、计算二重积分 ，其中 为由直线 ， 及Ddxy2yx1所围成的三角形区域。3xy解：把 看做 型区域时，相应地x， （2 分）2,01()32xy()xy所以， （4 分）12DDdxd（6 分）22301xxyy（8 分）10132ddx6、计算二重积分 ，其中21Dxyd2:1Dxy解：引入极坐标变换 ， ，则积分区域 变为cosrs
9、inr（2 分）(,)01,2于是，所求重积分（5 分）2 22101Dxyrdd令 ，则2rt21100rtdd（7 分）10t第 10 页 共 11 页（8 分） 10(2ln|)(2ln)t7、应用高斯公式计算曲面积分 ，其()SxdyzdzxdyA中 是立方体 表面的外侧。S0,xyza解：记 ， ， ，则有(,)2PQ(,)yz(,)Rxyzx， ， （3 分）x1又 在曲面 上连续，且具有一阶连续的偏导数，故由高斯公式,RS22QS VPRyzdxzydxdxyzxy A（6 分）14Vzz而 是立方体 ，故0,xyza，即344Vd（8 分）32()()4SxyzdzxdyaA四
10、、应用题（每小题 7 分，共 14 分）1、将正数 分解为三个正数之和，使这三个正数的倒数之和最小。a解：设三个正数为 ， ， ，则所求问题为求目标函数xyz1(,)fxyz在约束条件 下的最小值。 （2 分）xyza建立拉格朗日函数（3 分）(,)1/()Lzyzxyza对各变量求偏导数得：第 11 页 共 11 页（5 分）21/0/xyzLza显然， ，解方程组得xy（6 分）3axyz因稳定点惟一，而实际问题必有最小值，故 为最小点，最小值,3a9,3af2、求抛物面 与圆锥面 所围成的立体 的体积。2zxy2zxyV解：由 与 ，得 ，所以立体 可表示为2z2zxy21（2 分）2(,) ,Vxy引入柱面坐标变换， ，cosrsinrz则 变为V（4 分）2(,),01,2rzr于是，所求立体 的体积 V（5 分）Vdxyzrd（7 分）221120 0()6rzrdr
