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1、 Page 1 / 12一般实系数三次方程的简明新求根公式和判别法 谢国芳 Email: 目次1. 一般三次方程的 简化2. 简约三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推导 3. 卡丹公式的缺陷和简约实系数三次方程的新求根公式和判别法 4. 一般实系数三次方程的新求根公式和判别法 1 一般三次方程的简化对于一般形式的三次方程 , 两边同除以 ，即可化为首320axbcd()aa项系数为 1 的三次方程,32x然后作变量代换,（1） bya可消去二次项，将它化为下面的形式：, （2）30pq其中 , .（3）23bacp-=3297bcad下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程 .
2、2 简约三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推导在方程（2）中，设（4 ）ymn代入并展开整理后得到 Page 2 / 12（5）3()3)0mnnpq若选取 使得 ，即,n0p（6 ）3方程（5）就简化为（7）3mnq式（6）两边立方得 33 ()p结合式（7）可知 是下面这个二次方程的两个根：, n23()0Xq解得 .23p鉴于 的对称性，不妨设,mn, 323()q23()qpn其解为， 2, M2, N其中 , （ 即三次单位根） 2/3 13cosin2ieippw=+=-w， ,33()qq323()qpqN立方根 , 满足约束条件 MN（8 ）323233() ()2p
3、显然只有如下的配对才能满足式（6）：, , mnN2Mn2mnN代入式（4） ，我们就得到方程 的三个根：30ypq Page 3 / 12（9 ）32323 31232323 32 32323 33()()()()qpqpqyMNqpqpqy 这正是著名的卡丹（J. Cardan，也译作卡当或卡尔丹、卡尔达诺）公式.3 卡丹公式的缺陷和简约实系数三次方程的新求根公式和判别法卡丹公式在理论上解决了三次方程的求解问题，可以 说是一个在数学史上 赫赫有名、意义非凡的公式，但在实际应用中却遭受“冷遇” ，虽然它是一个精确的求根公式，但在实际应用中人们往往宁可采用其他近似的数值方法（如二分法、牛顿切线
4、法和各种迭代法等）而不愿意用它来求解三次方程，造成这一奇怪现象的原因在很大程度上不能不归咎于卡丹公式本身。作为三次方程的求根公式，卡丹公式确实存在不少缺陷，大致说来有下面这几个方面：第一，它仅仅是针对没有二次项的三次方程 的求根公式，对于一般形30xpq式的三次方程 ，需要 经过变换从 先求出相应参数 的值320axbcd,abcd,pq后才能套用公式求解，显然，这在实际应用中是很不方便的. （拿二次方程的情形作类比，卡丹公式相当于仅仅是没有一次项的二次方程 的求根公式，而对于一般形式的20xp二次方程 ，人们必须自行设法变换到 的形式后才能求解. ）20axbc第二，即使限于没有二次项的 三
5、次方程 ， 卡丹公式的复杂结构和冗长3xq笨重的表达式也令人望而生畏，特别是对于比较复杂的数值，由于需要反复地乘方开方，计算相当繁复.第三，当 时 1，虽然这时候方程的三个根全都是 实数，但 套用卡丹公32()0pq式却必须计算复数的立方根， 这是一件相当别扭和麻烦的事情 .针对卡丹公式的上述缺陷，下面我们将通过引入几个辅助参数将它彻底“改造” ， 得到一个新的求根公式，并顺便推导出相应的根的判别法则，它们是接下去我们推导出一般三次方程 的简明求根公式和判别法的“跳板”.320axbcd定理 1 对于实系数三次方程 ，定义30ypq() Page 4 / 12关键比（key ratio） ,
6、（10）3/2= ()qrp则有如下根的判别法则和求根公式：(1) 当 时，方程有一个实根和两个共轭虚根：0p（11 ）12,31()1()2pyKpiK 其中 .31Kr(2) 当 , 时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根：0p1r（ 12）12,3()11()2yppi 其中 . 31r(3) 当 , 时，方程有两个相等的实根（即一个二重实根）和另一个与之不0p等的实根，此时仍可用求根公式（12）求解.当 时， ，代入式（12）即得1r, . （13）23py123y当 时， ，代入式（12 ）即得r1, . （14） 23y1py(4) 当 ， 时，方程 有三个互异的实根：0p1r0pq（
7、15）123cos 32= () cos3ypyq- +- -其中 .1cosrq-= Page 5 / 12证明： 首先我们把求根公式（9）改写一下. 由约束条件（8 ）可得 , 代入3pNM式（9 ）即得方程 的三个根为：30ypq（16 ）1222313)2Mppy iMp () 其中 .323()qqM（一）若 ，则0p323233 333232()()1/() / =1qqpqppprK代入式（16）即得式（11 ） ，显然其中的 为实根， 为共轭虚根.1y23,y（二）若 ，则0p（17）323233 3332332()()/()1 /)/ 1qpqpqMpr下面我们分 和 两种情
8、形讨论.1（1 ）若 ，则 为实数， 也为实数，式（17 ）即r2r-321r,pM代入式（16）即得式（12 ） ，易见其中的 为实根，当 时 为共轭虚根，当1y1r23,y Page 6 / 12即 时 为两个相等的实根（参见式（ 13） 、 （14） ）. 1r=23,y（2 ）若 ，则 ， 为虚数，这时式（ 17）即r10-21r-,332 21ppMri因 ，故可设 （ ） ，即 ，于是1rcosrq=0cos32 23/3311() cosiniippi pee 代入式（16）即得,/3/31 2cos3 3i ippyMee2/32/ /4/2()/3()/ 2 cos()3ii
9、 iii i epppee2/34/ /2/3()/3(2)/ cos() 3ii iii iyMepppee 显然 全都是实根，并且易证它们两两不等. 123,y实际上可证 .2y因为反余弦函数的值域为 ，故由 且 可知0,p1cosrq-=, , 0323233因此, , 1cos211cos()21cos()由此即可判定各根的范围：, , 133ppy23py3py显然 . 12 Page 7 / 124 一般实系数三次方程的新求根公式和判别法为了将上一节我们得到的求根公式和判别法推广到一般的实系数三次方程，只要把相应的简约三次方程 的关键比 直接用系320axbcd+=30ypqr数
10、表出即可.,将由式（3）给出的 值代入式（10）可得,pq3232332 2397/ 97 =()() ()(/)abcadabcadr 如果约定 ，则 20a, （18）32297 =()abcadr我们可以把它称为三次方程 的关键比.30x定义参数 ，由式（3 ）可知 ，故 和 的符号相反，根据定2Dbac23Dpap理 1，并注意到 （参见式（ 1） ） ，我们就得到了如下的结果 3.xy一般实系数三次方程的新求根公式和判别法对于实系数三次方程 ，定义参数 4320axbcd+=, , （19）D3297()abadrD则有如下根的判别法则和求根公式 5：(1) 当 时，方程有一个实根和
11、两个共轭虚根：230bac（20 ）12,31()31(22KxbDDKiaa)其中 .31Kr=+(2) 当 ， 时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：20Dbacr Page 8 / 12（21）12,31()31(22bDxaDia)其中 .31r(3) 当 ， 时，方程有一个两重实根和一个单重实根，此时仍20Dbacr可用求根公式（21 ）求解 6.当 时， ，代入式（21）即得 1r321r, . （22）1bxa23bDxa当 时， ，代入式（21）即得 r31r, . （23）12bDxa23bxa(4) 当 ， 时，方程有三个互异的实根：230c1r（24 ）1232cos3()
12、2cos()3bxaDbxa其中 . 我们可以把上式称为一般实系数三次方程的三角求根公式 . 1cosrq-=(5) 当 （即关键比的分母为 0）时 7，方程 可230Dba 320axbcd+=以配成完全立方求解，两边同除以 ，再利用 可将它改写成23bca3()(dx解得 Page 9 / 12（25）321322377badxbadx其中 为三次单位根（ ， ）.w2/31ieip=-+2132i易见当 时， 为实根. , 为共轭虚根. 327bad1x23x当 时， ，即方程有一个三重实根 .23ba- 3ba-例题 1 判别方程 根的情况并求解.32986570xx解： , , ,
13、,abcd,22()986128D3 3297 = ()865902(579)86() 180.2417,car由 , 可知该方程有三个互异的实根，可用 三角求根公式（24）求解.D,10.48593cos1805r,12cs72cos390.468902651bxa,257981o().31276.32cs()0.9849809x例题 2 判别方程 根的情况并求解.32.3.1.526xx Page 10 / 12解： ,2238.3.10.24Dbac由 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用 求根公式（20 ）求解.032397 = ()8.1(8.)27(1.56) 041.952635,dr,3.79 =162+Kr,11()80.4().3625819373bDKKxa2,318.0.24(.2(3.975 0.57649351.ii)例题 3 判别方程 根的情况并求解.32.6.1.02 xx解： ,2(0735786)34Dbac3239 = ()0.76.15(0.276)(0.4325)841.4932 ,dr由 , 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用 求根公式（21）求解.Dr,321.763 =5901+7,11()2.864()0
