《《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第一章三角函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第一章三角函数（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 1章 三角函数 第 1 课时 任 意 角教学过程一、 问题情境情境 1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少? 3情境 2:在体操、跳水运动中,有“转体 720”“翻腾两周半”这样的动作名称, “720”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720” 是怎样的一个角? 4二、 数学建构(一 ) 生成概念问题 1在初中,角的概念是如何定义的 ?(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)问题 2体操运动中的“转体 720”是如何形成的?(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)问题 3
2、你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边, 射线的端点称为角的顶点 .问题 4 既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢?(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角, 进而得到正角、负角、零角的概念)通过讨论,结合下图(图 1),给出正角、负角
3、、零角的定义 .(图 1)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 .如果射线没有作任何旋转, 那么也把它看成一个角,叫做零角 .(二 ) 理解概念1. 用“ 旋转 ”定义角之后 ,角的范围大大地扩充了 . 角有正负之分(结合图 2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动); 角可以任意大; 还有零角 .(图 2)2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯, 就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样 .问题 5 角的概念推广后,角的范围也就扩大了 ,那么,我们又该如何来研究角?为
4、了便于研究,我们要将角放在直角坐标系中 .建立直角坐标系的方法: 角的顶点与原点重合,角的始边为 x 轴的正半轴 .问题 6 将角放入直角坐标系中研究后,角的终边会出现在哪些位置?我们该如何称呼它们?(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角 ;如果角的终边在坐标轴上 ,称这个角为轴线角 .(三 ) 巩固概念(1) 分别举几个第一、 二、 三、 四象限角的例子 .(2) 30, 390, -330角分别是第几象限角?观察这些角,你有什么发现?(3) 终边相同的角有何特点?试写出与 30角终边相同的角的集合 .5问题 7 与 角终边相同的角的集合如何表示?S
5、=|=k360+, kZ.注意以下问题: kZ; 是任意角 ;终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同; 终边相同的角有无数多个,它们相差 360的整数倍 .6三、 数学运用【例 1】 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 0360的角写出来, 并分别判断它们是第几象限角 .(1) 460; (2) -21; (3) 963147. (见学生用书 P1)处理建议 选例 1 的第一小题板书来示范解题的步骤,其他例题请几个学生板演 ,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳 .规范板书 解 (1) S=|=460+k360, kZ. S 中在 0
6、360范围内的角是( -1)360+460=100,它是第二象限角 .(2) S= . S 中在 0360范围内的角是 1360-21=339,它是第四象限角 .(3) S=|=96314+k360, kZ. S 中在 0360范围内的角是( -2)360+96314=24314,它是第三象限角 .题后反思 只需将这些角表示成 k360+(kZ)的形式, 然后根据角 选择一个适当的整数 k 值,使得k360+ 在 0360的范围内则可 .变式 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 -360到 720间的角写出来:(1) -120; (2) 640.处理建议 先由学生讨论,然后让
7、学生回答, 互相更正,对出现的错误进行纠正讲解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法 .答案 (1) S=|=k360-120, kZ,分别令 k=0, 1, 2 得 S 中在 -360到 720间的角为 -120, 240, 600.(2) S=|=k360+640, kZ,分别令 k=-2, -1, 0 得 S 中在 -360到 720间的角为 -80, 280, 640.【例 2】 已知 与 320角的终边相同,判断 是第几象限角 .8 (见学生用书 P2)处理建议 引导学生先写出 的表达式,然后将表达式中的 k 值具体化 ,取几个具体的值来发现结论 .规范板书 由 =k360+
8、320 (kZ),可得 =k180+160 (kZ).若 k 为偶数,设 k=2n (nZ),则 =n360+160 (nZ), 与 160角的终边相同,是第二象限角;若 k 为奇数,设 k=2n+1 (nZ),则 =n360+340 (nZ), 与 340角的终边相同,是第四象限角 .所以 是第二或第四象限角 .题后反思 (1) 解题的关键在于将 表示出来;(2) 在判断 所在象限的过程中,蕴含着分类讨论的思想, 要让学生充分领悟此方法;(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角 可以表示为 =k180+ (kZ),则 的终边与 的终边所在的直线重合 .变式 若角 的终边落在 x 轴上,则
9、 的集合为 ;若角 的终边落在第一、三象限的角平分线上,则 的集合为 . (根据上述题后反思的结论可得到结果)答案 |=k180, kZ; |=k180+45, kZ(或 |=k180+225, kZ)*【例 3】 (教材第 10 页习题 1.1 第 11 题)如图,写出终边落在阴影部分的角的集合 (包括边界) .9(例 3)处理建议 此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点 .规范板书 解 (1) 方法 1:根据例 2 的变式可得 |k180+45k180+90, kZ.方法 2:|k360+45k360+90, kZ=|k180+45k180+90, kZ.(2) |k360-150
10、k360+120, kZ.题后反思 (1)一个角按顺、逆时针旋转 k360 (kZ)角后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺、逆时针旋转 k360 (kZ)角后, 所得“区间”仍与原区间重叠,因此, 解决此类问题,我们可以首先在 0到360范围内找出满足条件的角,然后在加上 k360 (kZ)即可 .(2) 此类问题要注意角的终边的大小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的 .如第二小题表示为 |k360+210k360+120, kZ或 |k360+120k360+210, kZ都是错误的解答 .变式 若 是第四象限角,判断 是第几象限角 .10处理建议 根据象限角的定义结合不
11、等式的知识求解,最后来确定 所在的象限 .规范板书 因为 是第四象限角,所以 k360+2700).(图 1)当 为锐角时,过 P 作 PMx 轴,垂足为 M.在 RtOPM 中, sin= , cos= , tan= .问题 4 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?(由特殊推广到一般,通过对比,让学生对知识进行类比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心)通过讨论,结合图 2,给出任意角的三角函数的定义 .(图 2)一般地,对任意角 ,我们规定:(1) 比值 叫做 的正弦,记作 sin,即 sin= ;(2) 比值 叫做 的余弦,记作 cos,即 cos= ;(3) 比值 叫做 的正切,
12、记作 tan,即 tan= .(二 ) 理解概念1. 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上的角 的三角函数值不受终边上的点 P 的位置的影响 .2. 对于确定的角 ,比值 和 都唯一确定 ,故正弦和余弦都是角 的函数 .3. 当 =k+ (kZ)时,角 的终边在 y 轴上,故有 x=0,这时 tan 无意义,除此之外, 对于确定的角 ,比值 也是唯一确定的 ,故正切也是角 的函数 .4. sin, cos, tan 分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数 ,以上三种函数都称为三角函数 .问题 5 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函
13、数,那么,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢?(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)通过讨论,借助于三角函数的定义 ,抓住分母等于 0 时比值无意义这一关键 ,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为 R, R, .问题 6 根据三角函数的定义,我们得到了三个三角函数的定义域 .通过前面的学习, 我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在四个象限中 ,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响? 这种影响表现在什么地方?(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)通过讨
14、论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号, 如图 3 所示:(图 3)进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法 ,如图 4:(图 4)三、 数学运用【例 1】 已知角 的终边经过点 P(2, -5),求 的正弦值、余弦值、正切值 .3 (见学生用书 P5)处理建议 紧扣三角函数的定义 .规范板书 解 因为 x=2, y=-5,所以 r= = ,所以 sin= = =- , cos= = = , tan= =- .题后反思 学会用定义来处理问题 .变式 已知角 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin, cos, tan 的值 .4处理建议 启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来 .解 在直线 3x+4y=0 上任取点 P(4a, -3a) (a0),则 r= =5|a|.当 a0 时,sin = =- , cos= = , tan= =- ;当 a0;(2) -565=-2360+155,即 -565是第二象限角, sin(-565)0;(3) =4+ ,即 是第三象限角, tan 0.题后反思 正确确定角的终边所在的象限,是处理这类问题的关键 .【例 3】 已知角 的顶点为坐标原点 ,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,
