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1、1构造奇次幻方的一种方法杨富锋 南京理工大学摘要：幻方是古老的数学游戏经过几个世纪的发展形成了很多有趣的构造方法。本文利用行列式的性质和行列式的变换得到了构造奇数阶同心幻方原基的一种方法，利用排列组合对任意奇数阶幻方都能得到多种形式。关键词： 幻方 原基 通式 幻方也叫纵横图，是最古老和最流行的数学游戏之一。即对 个数构成的 n 阶方表中，每行，2n每列及对角线之和均相等。例如九宫（表 1）每行，每列及对角线之和均为 15，这是一个 3 阶幻方。2 阶幻方是不存在的，对于其他的 n 阶幻方是能够构造出来的。如本杰明富兰克林曾构造过许多有趣的幻方，de la Loubre 在 17 世纪发现了一
2、种构造奇数阶幻方的方法（见文献 1） 。对于偶数阶幻方构造可在 Rouse Ball 书中找到（见文献 2） 。本文利用行列式的性质及运算给出构造同心幻方（嵌套幻方，自中心向外辐射，去掉外层数字，内层仍为幻方）的一种方法。81635749234120表 1 3 阶幻方 表 2 3 阶幻方原基 表 3 5 阶幻方原基1、幻方的原基3 阶幻方表 1 中每个元素均减去中心 5，表 1 变为表 2 可看出每行之和，每列之和均为零，对角线之和也为零。那么就称具有这样性质的方表叫幻方的原基。这样的原基可以扩充到 5 阶，7 阶，(2n+1)阶，且正负整数是成对出现的，中心为 0。例如 5 阶幻方原基如表
3、3,显然（1） 0876515432xx这样每行、每列之和及对角线之和均为零。且外围 16 个数成对出现。其中 8 个正数，8 个负数，范围 5 到 12 和-12 到-5 之间的整数。由里到外设为第一层，第二层。那么 2m+1 阶幻方原基的第 m 层共有 8m 个整数，所以第 m 层的整数个数为 ，且正整数，负整数均为mm)12()(4m 个.最小的正整数为 ，(第 m-1 层有 个整数，去掉中心的 0，正负整数是12从 1 开始且成对出现的，则第 m-1 层最后的整数是 所以第 m 层整数从,22)(到 ，负数从 -( 的连续整数。2mm242到)(m)12幻方原基的构造首先介绍两个行列式
4、的性质:1876443322587610xxxx2定理 1：设 的 代 数 余 子 式 ， 则是 ijnnnaAaD,212112 （1）nijjnnn nAxDxaxa12122 11 证明：记（1）式左边的行列式为 11, D添 加 一 行 一 列 构 成将的等值 n+1 阶行列式，即: nnnnnn n aaxxxaxaxxD 2121122122 121110 +nnaa21211 nna 2211+(-1)n+2xn 上式右边诸行列式除外均按第一行展开，得：1122,nna njijii AxDAxAxD1111推论：如令 设 D= ),2,(njxj nnnaa 21212。 。
5、。 。 。 。. （2）的 代 数 余 子 式 。 则是 ijijaA njijnnn AxDaxa12122121 定理 2：若行列式 每行元素的和及每列元素和都等于 0，则各元素的代数余子式相等。ijaD按 第 一 行 展 开3证明：由行列式的行列变换得 =njnjnjjjij aaaA 1,21 2,2,)( njnjnj jjj aaa 1,2 2,2,。又可证 A 的第一列元素的代数余子式iAAAijjjij ,)1( ,1122 同 理,对任意 i,j 均成立 ijiij即 ，如果我们对原基取作行列式，则各原基的行列式为零，即各行均加到第一行，则第一行全为零。对 3 阶，5 阶，7
6、 阶幻方原基，取其行列式的代数余子式，由性质 2，对于同一阶原基的行列式的代数余子式相等。那么 332840A 35 )24(8160217925337 )246(821423160194988530 A从上可推想 （3）312)!(mAm为 2m+1 阶幻方原基代数余子式的通式(m 为层数)。在证明通式推想之前，先求出 的关系表达12mA式。设第 m 层幻方原基的行列式为： 14212 211 21212 1421 340xxyy xyyxDmm m 根据原基的性质有 （4）mxx414322 22)(显然 D=0（每行均加到第 1 行，则第一行全为 0） ，将 D 的每一元素加 1 得行列
7、式 ，则由12mD性质 1 推论得：=D+ 2mD12imjiA21imji （5）4由性质 2 得 = （6）1mDjiA2)(则 经过一系列行列式的变换得1= 12m 14212 21121212 142305xxyy xyyx mmmm 1412 21875143511222 32035)1(2 xmx yzz mxm m 83)()2()(35)12()()1( 2511)2 zmym= )()() 3152112 lzyxm令 3 阶幻方原基两角的元素 , 分别为-3,1，而 - =8 ，所以l32)(231l（7）12mD )()()12() 512121 lzyxm由（6）式得
8、（8）mA 231222 l此为行列式代数余子式的关系式，同样方法可得 的关系式：1mA= （9）12m )()() 23152211 lzym可见关系式只与原基四个角上的元素有关。现在我们用数学归纳法来证明前面的通式312)!(！Am证明：当 m=1 时有 ，显然通式成立。3A3128)()4( l设第 m-1 层原基行列式的代数余子式成立，有 =12m3!)(则第 m 层幻方原基行列式的余子式的关系式：=- （10）12A)(21mx5所以只要 = （11）)(21mx3(存在，而第 m 层整数从 到 与-（ ）到-（ ）之间，12m2212m其中 与 满足 ,且在第 m 层整数范围)2(
9、)(3)()1()( 内，可令 ， = 因此 = 是存在的。所以1x12mx2mx=- = = （12）2mA)(21mA313!)()(3!)(即通式对任意 m Z 成立。从证明中我们得到了新的关系， = 是存在的。那么我们利用它来构造幻方的原基。)(21mx3(3、构造幻方的原基对于 3 阶， ；32231 )1(8)(x5 阶， ；52607 阶，3271 )2(15)(x不妨令 ， = 则原基第 m 层的四个角可写成：m2x1)12()1( 表 4 第 m 层原基的四个角根据幻方原基的性质，则有（13） 24322 4)12()( mxxmm令 , , 为连续 m-1 个正整数，且 为
10、其中最小正整数,x=2 -2m+1, =2 -2m+2, =2 -2m+m-1。那么 为负数，可令 ,2x3x2m2 mx2到 2mx- 为连续正整数，不妨令- =- -1，并依次向上减 1，即- =2 +m-1,- =2 +m-2mx21 1，- =2 +m-(m-1)=2 +12x则有 + + + + +3mx12mxmx2=(m-1)(2 -2m)+(1+m-1)(m-1)/2+ -(m-1)2 +(1+m-1)(m-1)/22 1=-2 +2m+ =2m1mx6则 =2 ,且在2 -2m+1,2 +2m内,那么- =-2 ，同样，可令 到 为连1mx22m21mx22mx3续 m-1
11、个正数，从 依次向右加 1，得： =2 -m+1, =2 -m+2 =2 -1 则122x32剩下的 m 个正数放在其余位置，为了有规律，可令 =-(2 +m+1) =-(2 +2m)（即依次13mmx42向右加 1） ，那么 + + + +2x3mx13x4=(m-1)(2 )-(1+m-1)(m-1)/2-m2 +(m+1+2m)m/22 2=-m(m-1)/2-m(m+1+2m)/2-2 =-4 符合条件2则第 m 层幻方原基如表 5：除四个角和中间元素外，从 到 ，从 到 ，从- 到-2xm2xm32x，从- 到- 依次加 1。其它与之对称的元素为相反数。x213mx412212mmx
12、x )12()12(12)()( 2)1()2(122)( 22 mmmm 43xxx表 5 第 m 层幻方原基则这样由里到外可以构造任意奇数阶幻方原基，对于原基的每一个元素加上同一个整数，就可构成连续 个整数的幻方，使每行，每列之和，及对角线之和全相等。如果对于 n 阶幻方每个数2n加上( +1)/2，那么此时幻方的和等于 n( +1)/2=n( +1)/2 (即每行都加到第一行有 n 个2n2n(n2+1)/2 相加)另外，从第 m 层通式可以看出，只要四个角的元素确定，其他元素可以全排列，即从 到 ，从 到 之间可以任意排列。假定幻方逆时针旋转 90 度与原幻方不同，第 m 层2xm2x
13、4至少有 4(2m-1)!(2m-1)!种构造方法。而第 m 层与第 m-1 层之间有 =16 种组合方式（ ） ，14C2则 2m+1 阶幻方至少有 种构造方法。因此，有了幻方原基就可构造奇数阶同心幻方。nm22)!1(44应用2m+1 阶原基第 m 层正整数范围为 ， 。由 2m+1=11 知 m=5，2m+1 阶原基12m2正整数范围最大数为 /2-1=60 利用原基第 m 层上述结构构造 11 阶的幻方原基（表 6） 。从2)1(里到外为 3 阶，5 阶，7 阶，9 阶，11 阶的幻方的原基，将他们分别加上 5，13，25，41，61，变成从 1 到 n2(n=3,5,7,9,11)个连续整数幻方。对 5 阶幻方调换 1 列和 5 列，2 列和 4 列得到新的幻方（表 7） 。只要继续下去，可以构造任意奇次阶幻方。 560958764987465 433130221423 59951 0380820 4271543547 6217631 180398029 44845 7表 6 11 阶幻方原基2312019645587823 230194625518783表 7 不同的 5 阶幻方 通过原基的第 m
