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1、任意角及其度量一、任意角定义：角是由平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）而形成的图形规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角例 1、已知：主动轮与被动轮相向旋转，它们的齿数之比是 3:5，求当主动轮逆时针方向旋转 5 周时，被动轮旋转的角度1080二、直角坐标系中的角例 2、(1) 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同；(2) 终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与 k 个周角的和3030+0360 (k0)39030+36
2、0 (k1)33030360 (k1)147030+4360 (k4)1770=305360 (k5)(3) 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 |360,SkZ即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和例 3、判别下列各角分别属于哪个象限：(1) 200； (2) 2000三、角度制与弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于 1rad rad1 rad2OOABACl|lr其中 l 是以角 a 作为圆心角时所对弧的长， r 是圆的半径概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制注：弧度是两
3、个长度的比值，在不引起混淆的情形下，可以省略单位“rad”或“弧度” 角的集合与实数集 R 之间的对应关系：正 角零 角负 角 正 实 数负 实 数0任 意 角 的 集 合 R实 数 集1、把角度换成弧度 10.1745rad82、把弧度换成角度 rad.38例 4、(1) 把 6730化成弧度； (2) 把 rad 化成度35解：(1) ，(2) 603.567.(rad)(r)18043180(rad)5我们知道，所有的圆都相似，两圆的相似比= ，每个圆的周长与半径之比是常数 2，12c记周角2 rad因此平角 rad，直角 rad，进而可得（请学生填第二行）2度 0 30 45 60 9
4、0 120 135 150 180 270 360弧度 06433246523问：长度等于半径长的弧所对的圆心角_rad 例 5、找出下列同终边角的最大负角：(1) ； (2) ； (3) 5512143(1) ； (2) ；(3) 19243【归纳小结】1、2、学习了角的弧度和弧度制的定义，要熟记特殊角的弧度数；3、角度制与弧度制的互化：180rad对于角 ，设它的角度为 n，它的弧度为 ，则满足公式： 180n四、扇形的弧长与面积一般地，如果一个半径为 r 的圆心角 所对的弧长为 l，那么比值 就是角 弧度数的绝对值，lr即 |lr例 6、如图，已知扇形的圆心角的弧度数为 （0 呢？1si
5、n,02yx例 9、一绳索绕在半径为 40 厘米的轮圈上绳索的下端 B 处悬挂着物体W（如图） 如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转 6 圈，那么需要几秒才能把物体 W 的位置向上提升 100 厘米？解： （秒） 102564例 10、两个齿轮相向旋转，其中大齿轮逆时针旋转已知：两齿轮的半径大小分别是 R、r，大齿轮的角速度是 用 、R 、 r 表示小齿轮的角速度 解： r【归纳小结】扇形的弧长与面积公式：l r， ；21Slr五、角的加、减运算与终边的关系例 11、(1) 写出终边分别在 x 轴、y 轴正负半轴的角的集合；(2) 写出终边分别在 x 轴、y 轴的角的集合；(3) 写出终边在坐标
6、轴的角的集合解：(1) 终边在 x 轴正半轴的角的集合是 ，终边在 x 轴负半轴的角的集合是|2,kZ，终边在 y 轴正半轴的角的集合是 ，终边在 y 轴负|2,kZ|2,kZ半轴的角的集合是 ； |2,kZ(2) 终边在 x 轴的角的集合是 ，终边在 y 轴的角的集合是 ；|,k |,2k(3) 终边在坐标轴的角的集合是 |,2Z例 12、在直角坐标系中画出集合 中角的终边|,36k例 13、写出直角坐标系中终边在直线 yx 上的角的集合六、终边关于 x 轴、y 轴、原点等对称的角例 14、在直角坐标系中(1) 角 与 的终边关于 x 轴对称，写出 、 满足的关系式；(2) 角 与 的终边关
7、于原点对称，写出 、 满足的关系式；(3) 角 与 的终边关于 y 轴对称，写出 、 满足的关系式例 15、在直角坐标系中(1) 角 与 的终边关于直线 yx 对称，写出 、 满足的关系式；(2) 角 与 的终边关于直线 yx 对称，写出 、 满足的关系式七、象限角、轴线角与区间角例 16、用区间表示终边在下列位置的角的集合1）第一象限； 2）第四象限； 3）第二、四象限； 4）第一、四象限例 17、在直角坐标系中，用阴影表示属于区间 的(2,)(2,6kkkZ角的终边所在的位置例 18、写出终边落在图 1，图 2 所示范围内的角的集合（不包含画成虚线的边界） 其中 OA 是角 的终边，OB
8、是角 的终边234yxOyxO图1图2ABAB例 19、课本第 34 页的例 6设 是第三象限的角，试讨论 是哪个象限的角，并在直角坐标系中用阴影部分表示出来2例 20、若角 是第一象限角，指出 ， ， ， ， 终边所在的位置223例 21、设圆与 x 轴正半轴的交点为 A，质点 M 从圆周上点 A 位置开始，依逆时针方向作匀速圆周运动已知：质点 M 一分钟转过的角为 (0 2)， 2 分钟后到达第二象限，14 分钟后回到原来位置求角 弧度制一、填空题1把下列给角化成弧度(1) _ (2) _5 75(3) _ (4) _302 42把下列给弧度化成角度(1) _ (2) _763(3) _
9、(4) _5.1 2二、选择题1在半径为 R 的圆中,一个扇形的圆心角为 弧度,那么这个扇形面积为 ( )A B C D2l2121R21R2已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,那么这个扇形的圆心角 的大小为 ( )A B C D13三、解答题1计算下列三角式的值2sin5ctg0os89tg2设两个角的差为 ,它们的和为 2 弧度,求这两个角各是多少弧度?3圆的半径等于 12cm,求这个圆上长 25cm 的弧所对圆心角的度数(精确到 )14直径是 20cm 的轮子,每秒钟旋转 45 弧度,那么轮周上一点经过 5 秒钟所转过的弧长为多少? 5一个扇形 OAB 的中心角为 ,扇形的面积为 ,
10、求弧 AB 的长和以 AB 为弦的弓形的150235cm面积6若扇形的圆心角为 ,半径为 r ,求扇形的内切圆与扇形的面积之比607已知一扇形的周长为 m(m0)问:扇形的圆心角为多大时 ,它的面积最大?任意角（1）一、选择题1、角 属于第几象限 （ ）4A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2、与 角终边相同的角是 （ ）0A B C D880-6402803、下列各角的始边相同，其中有相同的终边的一组角是 （ ）A B69 5 3 90 31 57C D804216 7040 24若角 的终边在第四象限，则角 的终边在 （ ）2A第二象限 B. 第二象限或第一象限C第二象限或第三象
11、限 D. 第二象限或第四象限5经过 20 分钟时，钟的分针所转过的角是 （ ）A B C D120120099062003 是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角7所有与角 终边相同的角可表示为 ，其中 一定是 （ ）)( 2ZkA小于 的角 B正角 C象限角 D任何角2二、填空题1在下列角的集合中，找出终边在 之间的一切角：720（i） ，A 中有_360,Akk（ii） ，B 中有_185,B（iii） ，C 中有_7203,Ckk2 kkA ,232 ,6 则 _， _BBA三、解答题1、在下列角的集合中，找出终边在 之间的一切角：4（i） （ii）2,3Ak
12、3,4Bk2、设 A 和 B 分别是等腰三角形的顶角和底角，用弧度制表示 A 和 B 的范围。3、若 是第二象限的角，试判定下列各角所在象限：（i） （ii） (iii) 22任意角（2）一、选择题1、终边在 y 轴上的角的集合为 （ ）A Bk, k,2C D,2 ,2、已知角 和 分别是等腰三角形的顶角和底角，则 和 满足 （ ）A Bk, k,2C D23、下列各角中，有一个角与其它三个角的终边不重合，这个角是 （ ）A B C D56351723619574、设 M= ,则 是 （ ）一一一90NNMA B C D以上都不对一一905、已知扇形的周长为 6cm，面积为 2 ，则扇形的中心角的弧度数为 （ ）cmA1 弧度 B4 弧度 C1 弧度或 4 弧度 D6 弧度二、填空题1、在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定是哪个象限的角：360a） 的角与_的角的终边相同，它是第_象限角245b） 的角与_的角的终边相同，它是第_象限角82、在直角坐标系中，若角 和角 的终边互为反向延长线，则角 和角 的关系是_若角 和角 终边关于 x 轴对称，则角 和角 的关系是_若角 和角 终边关于 y 轴对称，则角 和角 的关系是_3、与 8 终边相同的角是_，它们是第_象限角；其中最小的正角是_；最大负角是_三、解答题1、若 是第二
