概率的加法公式和乘法公式

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1、新乡医学院教案首页单位：计算机教研室 课程名称 医药数理统计方法授课题目 1.3 概率的加法公式和乘法公式授课对象 05 级药学时间分配概率的加法公式并能正确运用 30条件概率和乘法公式并能正确运用 事件独立的概念及其判断方法 2课时目标理解掌握概率的加法公式并能正确运用 理解掌握条件概率和乘法公式并能正确运用 掌握事件独立的概念及其判断方法 授课重点 加法公式、乘法公式及其正确运用授课难点 条件概率,事件独立性授课形式 小班理论课授课方法 启发讲解参考文献医药数理统计方法 刘定远主编 人民卫生出版社概率论与数理统计 刘卫江主编 清华大学出版社 北京交通大学出版社高等数学(第五版)同济大学编

2、高等教育出版社思考题 成立吗？()1()PBA教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字 ） 课程负责人（签字）年 月 日 年 月 日 1新乡医学院理论课教案基 本 内 容 备 注1.3 概率的加法公式和乘法公式一、加法公式定理 1 若事件 A、B 互不相容，则 ()().PABP解释：如右图，A+B： 个等概基本事件12m12()().Pn推论 1 若有限个事件 互不相容，则12,nA2 2()()()n nPPA 推论 2 若事件 互不相容，且 ，则1, 12U2()()nA推论 3 对立事件的概率满足 PA例 1 袋中装有 2 个红球，3 个白球，4 个黑球. 从中每次任取一个,并放回,

3、连取两次,求(1) 取得的两球中无红球的概率.(2) 取得的两球中无白球的概率.(3) 取得的两球中无红球或无白球的概率. 解： 设 =“无红球” ， =“无白球” ，则AB(1) 2749()81P(2) 263()9B(3) =“无红球或无白球” A()()PP定理 2 设 A、B 为任意两个事件，则 ()()().ABPAB解释：看右图， 基本事件个数为 ， 基本事件个数为k。12mkA B1m2n?加法公式 2因此 ()PAB1212mkknn()()PAB新乡医学院理论课教案基 本 内 容 备 注3说明： 加法公式可推广到有限个事件的情形。例如，若 A、B、C 为任意三个事件，则()

4、()()()()()PPABPCAPBC例 1 (3)解答： 49361988例 2 如图所示，设开关 A， B，C 开或闭是等可能的，试求灯亮的概率。解：令 M=灯亮， A，B，C 分别表示开关闭合,则 MABC故 ()PM()()()PABCP又因 1(),2A1 ,4B，所以18PBC17(3.48例 3 一盒试样共有 20 支，放置一段时间后发现，其中有 6 支澄明度较差，有 5 支标记已不清楚，有 4 支澄明度和标记都不合要求现从中随意取出支，求这一支无任何上述问题的概率解 记 “ 澄明度较差” ， =“标记不清”，则AB()0.3,2PA()0.25,PB()0.2,P所求概率为

5、。因为 ，所以 ，A()()1()ABPAB而 ，()(0.35PBP故 1)1.6二、条件概率与乘法公式 1.条件概率 例如，假定男、女的出生率相等，现考察有两个孩子的家庭，求（1） 至少有一个女孩的概率。（2） 大孩子是女孩的概率。（3）已知两个孩子中至少有一个女孩，求大孩子是女孩的概率。解：记 A=“至少有一个女孩” ，B=“大孩子是女孩” ，等概基本事件组为（男，男） ， （男，女） ， （女，男） ， （女，女）新乡医学院理论课教案4基 本 内 容 备 注（1） 3()4PA（2） 12B（3）所有可能的基本事件为 A 所包含的（男,女）, （女，男） ， （女，女）, 其中 B 包

6、含 2 个，故所求概率为 .3定义：在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率称为条件概率，记作(|).P定理 3 在事件 A 发生的前提下，事件 B 发生的条件概率等于事件 A 与 B 同时发生的概率与事件 A 发生的概率之比，即 ()(|).PA说明： 1(|)()mnPB例 4 下表是死亡者分属各年龄组的概率，试求一个 60 岁以上者，但享年未超过 70 岁的概率。年龄 (0, (60,7(,80合计死亡概率（%） 3.23 18.21 27.28 33.58 100解：记 A=“死亡年龄超过 60 岁” ，B=“享年为超过 70 岁” ，所求概率为P(B|A).由表知， ()18.2

7、PAB()18.2%7.3.5879.0%,PA所以， .| 3.0()792.乘法公式由定理 3 得：或()(|)PABA()(|)PBA定理 4 有限个事件的积的概率等于一系列事件的概率之积，其中每个因子是它前面的一切事件都已发生的前提下的条件概率。 !2121312121()(|)(|)(|)n nnPA 证 以 n=3 的情形证明之，余类似。12312312312121312()()()|)(|)(|)PAAPA概率的乘法公式5新乡医学院理论课教案基 本 内 容 备 注例 5 某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为 0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病

8、时，心肌受损害的概率为 0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率.解：设 A1=“第一次患病心肌受损害” ，A 2=“第二次患病心肌未受损害”，由题设可知： 所求概率为121(|)0.6,P ()=0.3, 12().PA1()7P21|(|).4,所以 2121()|).7.8AA三、事件的独立性例如，设袋中有 3 白球 4 黑球，抽取两次，每次取一个，记 A=第 1 次黑球，B=第 2 次黑球，则 ().7PB若抽取是放回的，则 |();A若抽取是不放回的，则 (|)0.5.PB定义 如果事件 A 发生与否不影响事件 B 的发生， 即则称事件 B 独立于事件 A.(|)(,PBA说明：两

9、个事件独立总是相互的。因为 则(|)(,PA()(|)(|) .PAB定理 5 两个事件 A、B 独立的充要条件是它们的积事件的概率等于其各自概率的积。即 ()()PA证 必要性：因为 A 与 B 独立， (|)(PB故 ()|)A充分性：因为 ，而 所以(|)P(),PA，故 A 与 B 独立.(|)(PB6新乡医学院理论课教案基 本 内 容 备 注例 6 根据下表考察色盲与耳聋两种并之间是否有联系。聋（A） 非聋( )A合计色盲（B） 0.0004 0.0796 0.0800非色盲（ ） 0.0046 0.9154 0.9200合计 0.0050 0.9950 1.0000解： ，()0.

10、5,()0.8,()0.4PABPAB因为 ()所以耳聋与色盲是相互独立的两种病。例 7 已知某人群的妇女中，有 4%得过乳腺癌，有 20%是吸烟者，而又吸烟又患上乳腺癌的占 3%，问不吸烟又患上乳腺癌的占多少？吸烟与患乳腺癌有关联否？解 记 A=“一名妇女有乳腺癌” ，B=“一名妇女是吸烟者” ，则已知，所以()0.4,().20,().3PABPA()()PABPAB，故不吸烟又患上乳腺癌的占 1%。31由 ，则两者不是相互独立的，也就是两者有().8()关系。补充说明：如果 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B 以及 与 都是相互独立的。A若 n 个事件 相互独立，则有 ，但12

11、,n 1212()()(nnPP 反之不成立。在实际问题中，事件的相互独立性往往根据实际问题的背景来判断。例 8 某系统有甲乙两个元件串联组成，在一次运行中每个元件失效的概率分别为 0.1 和 0.2。试求在一次运行中该系统失效的概率。解 设 A=“甲失效” ，B=“乙失效” ，C=“系统失效” 。A 与 B 相互独立，所以()()()()()PCPABPABP0.12.0.28本次课小结：为了讨论有关系的事件的概率，必须了解概率的加法定理、条件概率与概率乘法定理。在应用加法定理时首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥（三个以上的事件是否7两两互斥？） 。使用概率的乘法公式时，首先要搞清楚所涉及的事件是否相互独立？条件概率与事件乘积的概率的联系由公式 表示。了解事件的独)|()(ABPA立性以及事件的互不相容性对于计算一些事件的概率可起简化作用。思考： 成立吗？()1()PBA