极限思想在小学数学教材中及渗透

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1、极限思想在小学数学教材中的渗透教育科学学院 小学教育专业 100401056 赵倩指导教师 苏明强 副教授【摘 要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版在义务教育数学课程标准（2011 年版） 课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所

2、必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 ”1其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法” ，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。2极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小

3、学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。一、极限思想在数与代数中的渗透（一）数的认识中的蕴含的极限思想表 1-1：北师大版小学数学“数的认识”教学内容中蕴含极限思想统计表册别 教学内容 页码 教材片段 蕴含的极限思想 小数的认识 2 小数的个数有无数个 比较小数的大小4 小数有无限多个与其等值的小数三年级（下册）3 分数的初步认识 54 有无数个分数 认识更大的数4 数可以越来越大，没有尽头四年级（上册）4 正负数89 正数、负数的个数有无数个 小数的意义5 数位顺序表中，整数部分和小数部分的数位以小数点为分界线向左右两端无限增加四年级（下

4、册）5 认识循环小数69 小数部分的位数有无数个五年级（上册）6 自然数、整数、倍数2 有无限多个自然数、整数，一个数的倍数有无数个五年级（上册） 2、5、3的倍数的特征4 2、5、3 的倍数是无限的 奇数和偶数5 有无数个奇、偶数 真分数、假分数、带分数 38 有无限多个假分数、带分数、真分数 公倍数51 两个、两个以上的数的公倍数的个数有无数个 分数与小数相互转化71 分数有无数个与其等值的分数；因此一个小数可以转化成无数个分数；一个分数也可以转化成无数个小数五年级（下册）7 百分数的认识64 百分数有无限多个数学三年级下册 P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价

5、格来引出小数。 “像 3.50,1.06,16.85这样的数，都是小数。 ”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多” ，渗透极限的数学思想。数学三年级下册 P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与 0.5 相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。数学三年级下册 P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用 表示，其中的两份用 表4142示随着份数的逐渐增加，则可用于表

6、示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。数学四年级上册 P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。数学四年级上册 P89。正数与负数有无数个，是数不完的

7、。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与 0 都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。数学四年级下册 P5。教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。整数部分从个位开始，往左数位逐次增加

8、；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。通过数位的变化来体现数值的变化。数学四年级下册 P69。教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出 733=24.3333与 9.411=0.85454这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。数学五年级上册 P2。自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。教材以“像 0、1、2、3这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整

9、数的概念。通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍数，教材以 7 为例，14 是 7 的倍数；77 是 7 的倍数，以此追问学生：“你还能找到 7 的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。数学五年级上册 P4。教材以表格的形式呈现出 1100 这 100 个数字，让学生通过表格寻找 2、3、5 倍数的特征。借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2 的倍数的特点是个位上的数字有 0、2、4、6、8；5 的倍数的特点是个位上通常是 0 或者5；3 的倍数同样具有它独特的特点。通过推理发现这些规律并不只局限于 100 以内的数字，对于更大的数依

10、然成立。数有无数个，因此有无数个数满足 2、3、5 的倍数特征。数学五年级上册 P5。能被 2 整除的数即为偶数。反之，不能被 2 整除的数即为奇数。由于数有无数个，因此 2 的倍数有无数个。进而推出偶数的个数有无数个。反之，奇数也有无数个，也是数不完的。数学五年级上册 P38。无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。教材仍然是以“像 、 、 、 这样的分数叫做真分数”以及“像 、2143 23、 、 这样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的3459概念。同样是利用省略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。由于数的个数有无数个，数可以越来越大。因此

11、在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。同理假分数也是这样。带分数是由一个整数和一个真分数构成，因为真分数与整数的个数有无数个，所以带分数的个数也有无数个。数学五年级上册 P51。教材以表格的形式列出 50 个数字，要求学生将 4 的倍数用三角形表示， 6 的倍数用圆形表示。同时标有三角形和圆形的数表示公倍数，即为 4 和 6的公倍数。在有限数字的情况下，我们只能找到有限个 4 与 6 的公倍数。但是数是有无限多的，在不限数字范围的情况下，有无数个 4 与 6 公倍数。公倍数可以无穷大，可以无限多

12、。但有且只有一个确定的数为两数的最小公倍数。数学五年级上册 P71。分数有无限多个与其等值的分数。因此在小数与分数的互相转化中，一个小数可以转化成无数个与其等值的分数。对于 0.4 与 的比较，教材中对410.4 做了相应转化，即 0.4 。 ，因为 ，所以 0.4 大于 。但是20814520580.4 可转化成的分数并不是只有这两个，而是无限多的。同样地，也可以把分数转化成无限多个与其大小相等的小数。数学五年级下册 P64。百分数是一类特殊的分数。百分数具有这样的特征：分母为 100，分子不一定都是整数。而满足此条件的数有无数个，因此百分数的个数也是无限多的。教材中对于百分数的定义是“像

13、22%，28%，90%，117.5%这样的数叫做百分数。”教材同样利用省略号来说明百分数是写不完的。（二）数的运算中蕴含的极限思想表 1-2：北师大版小学数学“数的运算”教学内容中蕴含极限思想统计表册别 教学内容 页码 教材片段 蕴含的极限思想四年级（上册）8 商不变规律75 满足同乘或同除数（零除外）有无限多个，故得到的新被除数和除数也有无数组四年级（下册）9 小数点移位40 小数点移动的位数有无数个，小数可以变得无穷小；也可以变得无限大 分数的基本性质 43 分数有无数个与其等值的分数五年级（上册）10 分数的大小（通分） 54 通过通分可以得到无限个和原分数相等，并且分母相同的分数五年级

14、（下册）11 分数乘法（三）7 21 =，其结果是一个趋于 0 的数，但是始终不为0。数学四年级上册 P75。教材设计让学生通过计算观察一组算式：82=4，8020=4，800200=4，80002000=4。这四个算式以一竖列的形式排列，引导学生分别“从上往下看”以及“从下往上看”观察算式的变化，探索发现商不变规律。被除数 8 和除数 2 同时乘以 10，100，1000 后，做除法计算所得到的结果始终不变。而数的个数是无限多的，在 10，100，1000 这三个数外，8 和 2 还可以同时乘以或除以其他相同的数，它们做除法所得到的商也是不变的。数学四年级下册 P40。小数的大小随着小数点的

15、移动，数值不断发生变化。数的个数是无限多，因此小数点左移的位数是无限多的，小数随着小数点无限左移而变得无穷小。同理，小数点右移的位数同样是无限多的，小数随着小数点无限右移而变得无穷大。数学五年级上册 P43。分数有无限多个与其等值的分数。教材以 为例，将分子43分母同乘以 2，同乘以 4 后所得到 ，其大小与 是相等的。数的个数是无限多的，在 28643和 4 这两个数外，还存在其他的数。 的分子 3 和分母 4 还可以同乘或同除其他的“数”（0 除外） ，所得到的新分数的大小与原分数是等值的。因此有无限多个与 相等的分数。43数学五年级上册 P54。把一组分数通分后可以得到无数组与原分数大小

16、相等，并且分母一致的分数。教材以操场和教学楼引入，让学生比较它们谁的占地面积比较大，即比较 与 的大小。可以将这两个分数通分变成 与 进行比较，也可以通分成 与924136897216； 与 进行比较。7808数学五年级下册 P7 页。教材首先呈现的是我国古代著名哲学著作庄子天下中截取木棍的说法，通过语言文字的形式为极限思想做铺垫。其次教材采用几何直观的手段，将语言文字转换成数学符号。以一张长方形纸条为例，首先截取它的 ，再截取剩余21部分的 ，此时剩下的部分占这张纸条的几分之几？最后再截取剩余纸条的 ，那么此时21余下的纸条占这张纸条的多少？可以得出算式： = =。如果将这张纸条21一直剪下去，那么就会有这样一个算式：