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1、 铜陵学院课程论文论文题目：傅里叶变换在信号处理中的运用铜陵学院2013 年 6 月 22傅里叶变换在滤波技术中的应用 1.1 滤波的概念 利用电路容抗或感抗随频率变化的特性， 对不同频率的输入信号产生不同的 响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这 一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。 设滤波器的输入 x(t ) ，输出 y (t ) ，则有滤波器系统的输入关系如下： x (t ) ? h (t ) = y (t ) (5) 由时域卷积定理知，式 5 可转换为 X ( ) H ( ) = Y ( ) CFT CFT CFT 其中： x(t ) ? X (
2、 ) ， y (t ) ? Y ( ) ， h(t ) ? H ( ) (6) 由式 6 知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研 究，进行频谱分析提供了可能。又由式 6 知 H ( ) = Y ( ) / X ( ) (7) 其中 H ( ) 称为系统函数， 可完全表征系统的性质和特征。 因此， 若已知输入 x(t ) 及要求的输出 y (t ) ，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤 波系统，从而满足适当地满足实际需要。 1.2 理想选择性滤波器 理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率范围内的复指数信号 e j t 或 正弦信号 cos(t ) 能无
3、失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。通常把信 号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通 带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通 滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系 统分析中重要的基本系统。 4 1、理想低通滤波器 理想低通滤波器是指能使某频率范围内的信号无失真的通过，而高于一定频 率值的信号完全抑制的滤波器，其系统函数 H L ( ) 为 1， H L ( ) = 0， 0 其中， 0 是理想低通滤波器的截止频率。频谱如图 1 所示。 图 1 理想低通滤波器的频谱 2、理想高通滤波器 理想高
4、通滤波器与理想低通滤波器相对应， 是指使高于某个频率值的信号无 失真的通过而低于该频率的信号则完全抑制，其系统函数 H H ( ) 为 1， 0 H H ( ) = 0， 2 或 2 或 0,于是已调信号 的包络检波器，即可提取包络，恢复 g (t ) ,不需要本地载波。此方法可降低接受 机的成本，但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机，因为需提供足够强的信号 A cos(0t ) 之附加功率。 在此种调制方法中， 载波的振幅随信号 g (t ) 成比例地改变， 因而称为“振幅调制”或“调幅（AM） 。也可以控制载波的频率或相位，使它们 随信号 g (t ) 成比例地变化，它们的原理也是使 g
5、(t ) 的频谱 G ( ) 搬移。 5.傅里叶变换在抽样技术 中的应用 数字电子技术的迅速发展，尤其是计算机在自动控制、自动检测以及许多其 他领域中的广泛应用，使得用数字技术处理模拟信号的情况也更加普遍了。在通 信系统中，利用已有的数字技术处理模拟信号，不仅可以使模拟信号的传输更加 简化，而且能保证传输的准确性。而利用数字技术处理模拟信号，首先得将模拟 信号数字化。利用抽样可以将模拟信号数字化。通过傅里叶变换可以知道：一定条件下，一个连续时间信号或离散序列均可 惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。换言之，这组等 间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息， 且原信号可以由这
6、组样本值完全 恢复出来。 3.1 理想抽样 一般地说，在没有任何附加条件下，不能指望一个连续函数都能惟一地由其 一组等间隔的样本值来表征，因为在给定的等间隔时间点上，有无限多个信号都 可产生一组相同的样本。 然而， 如果是带限的连续时间信号， 且样本取得足够密， 那么该信号就能惟一地由其样本值来表征，且能从这些样本值完全恢复出原信 号。 设原连续时间信号 x(t ) 是一带限于 m 的连续时间带限信号，即 F x(t ) = X ( ) , 且 X ( ) = 0 ， 2 m Ts (19) 则 x(t ) 就惟一地由其样本值 x(n Ts ),n = 0, 1, 2所确定。 抽样脉冲信号 p
7、 (t ) 是一冲激信号，即 p (t ) = Ts (t ) = (t ? nTs ) ? (20) 其时域波形及频谱如图 3.1.2 示。 已抽样信号 x p (t ) 也是一个冲激串，每个冲激的强度等于 x(t ) 以 Ts 为间隔的 样本值。即 x p (t ) = x ( nTs ) (t ? nTs ) ? (21) 它是通过图 8 所示的理想抽样来实现的。带限信号 x(t ) 与周期 Ts 的冲激串 p (t ) 相 乘，便可得到已抽样信号 x p (t ) ,即 x p (t ) = x (t ) p (t ) (22) x(t ) 相 乘 x p (t ) p (t ) 图
8、8 理想抽样系统方框图 图 9（a）中画出了对某个 x(t ) 理想抽样的时域波形。利用傅里叶变换可以在 频域中直观观察该理想抽样过程。图 9(b)画出了上述过程的频谱。 抽样脉冲信号 p (t ) 的频谱为 P( ) = 2 Ts ( ? n ) ? s (23) 利用频域卷积性质，可得 x p (t ) 的频谱 X p ( ) 为 12 X p ( ) = 1 ? ? X ( )* ?s ( ? ns ) ? 2 ? ? ? = 1 Ts X ( ? n ) ? s (24) 。 上示表明 x p (t ) 的频谱 X ( ) 是的周期复制并乘以（1/ Ts ） 图 9（a ）冲激串抽样时
9、的信号波形 （b） 相应信号的频谱。3.2 抽样的恢复 由图 9 中可以看出，如果抽样频率 s 不小于 2 m ，已抽样信号的频谱 X ( ) 是无重叠地周期重复。只要满足 19 式的条件，从频域上看， X ( ) 如实地在抽样 频率 s 的整数倍频率上重现，因此，可以用一个低通滤波器，把 x(t ) 从 x p (t ) 中 完全恢复或重建出来。该低通滤波器的频率响应 H L ( ) 为 Ts ， 0 其中， 0 是理想低通滤波器的截止频率。频率响应如图 10 所示。 (25) 13 为讨论方便，取相位特性为零，Ts 是抽样脉冲序列的周期。 图 10 低通滤波器 H(w)的频谱图 滤波器冲激
10、响应 h(t ) 表达式为 h(t ) = Ts 0 Sa( 0t ) (26) 若已抽样信号?s(t)为 ?s(t)= f (nTs ) (t ? nTs ) ? (27) 利用时域卷积关系可求得输出信号，即原连续时间信号?(t) ?(t)= ?s(t)* h(t ) = f (nTs ) (t ? nTs ) * Ts ? 0 Sa( 0t ) (28) = Ts 0 f (nT ) s (t ? nT ) ? s a 0 s 式 28 表明，连续时间信号 f (t ) 可展开成 Sa 函数的无穷级数，级数的系数等于抽 样值?(nTs)。也可以说在抽样信号?s(t)的每个抽样值上画有一个峰
11、值为?(nTs) 的 Sa 函数波形， 由此合成的信号就是?(t)。 按照线性时不变系统的叠加性,?s(t) 通过理想低通滤波器时，抽样序列的每个冲激信号产生一个响应，将这些响应叠 加就可以还原?(t)，从而达到由?s(t)恢复?(t)的目的。 3.3 零阶抽样保持 设 f (t ) 是原连续时间信号, p (t ) 为抽样脉冲序列, f s0 (t ) 是已抽样信号，它们 波形图如图 11 所示。在抽样瞬间，脉冲序列 p (t ) 对 f (t ) 抽样，保持这一样本值 14 直到下一个抽样瞬时为止，由此得到输出信号为已抽样信号 f s0 (t ) 具有阶梯状。 f s0 (t ) 经传输到
12、达接收端后需要恢复出 f (t ) 信号， f s (t ) = f (t ) (t ? nTs ) ? （ 29) Fs ( ) =1/ Ts F ( ? n ) ? s （30) 式中 Ts 为抽样周期， s =2 / Ts 是重复角频率， F ( ) 是?(t)的频谱。 f(t) 零阶抽样保持系统 fs o p(t) 图 11 零阶抽样保持框 f(t) fs(t) t p(t) Ts t fso t 图 12 零阶抽样保持波形 设零阶保持系统的系统函数为 h0 (t ) ，即 h0 (t ) =u(t)-u(t- Ts ) 15 (31) 其波形图如图 13 示。 1 fs(t) fso
13、(t) 图 13 系统函数 h（ t）的波形 则输出信号 f s0 (t ) 可表示如下： f s0 (t ) = ?s(t)*ho(t) （32) 式中 h0 (t ) 的傅里叶变换式为 F h0 (t ) = Ts Sa(Ts/2) e ? jTs / 2 由频域关系式： Fs 0 ( ) = F f s0 (t ) Fs 0 ( ) = Fs ( ) ?F h0 (t ) （33 ） =F(w-n s ) Sa( Ts /2) e ? jTs / 2 (34) 可以看出，零阶抽样保持信号 f s0 (t ) 的频谱的基本特征仍然是 F(w)频谱以 s 周期 重复，但是要乘上 Sa( Ts
14、 /2)函数，还附加了延时因子项 e ? jTs / 2 。当 F(w)频带 受限且满足抽样定理时，在接收端引入具有如下补偿特性的低通滤波器 e jTs /2 /Sa( Ts /2), (|w| s /2) Hor(w)= 0 , (|w| s /2) （35 ） 图 14 补偿低通特性 16 它的幅频特性 | Hor(w)|和相频特性 ( ) 曲线如图 14 示。当 f s0 (t ) 信号通过此补 偿滤波器后，即可恢复出原信号?(t)。从频域解释，将 Fs 0 ( ) 与 Hor(w)相乘， 得到 F(w)。 一般情况下，在通信系统中，只要求幅频特性尽可能的满足补偿要求，而相 频特性只要满
15、足线性相移特性即可。 6.频分复用与时分复用 将若干路信号以某种方式汇合，统一在同一信道中传输称为多路复用。复用 技术已经渗透到我们日常生活当中。像手机，它能够接受音频、视频等不同频率 的信号，就离不了复用技术的应用。在近代通信系统中普遍采用多路复用技术。 多路复用技术主要有频分复用和时分复用两种。 频分复用是指用正弦幅度调制把各种信号的频谱搬移， 使它们互不重叠地占 据不同的频率范围，也即信号分别附载于不同频率的载波上，这样就可以用同一 信道传输。在接收端利用若干滤波器就可以将各路信号分离，再经解调即可还原 为各路原始信号，图 15 示出频分复用原理方框图。通常，相加信号?(t)还要进 行第二次调制，在接受端将此信号解调后再经带通滤波器分路解调。 时分复用的理论依据是抽样定理。由抽样定理可知，频带受限于- ?m+?m 的信号， 可由间隔为 1 从这些瞬时抽样值可以恢复原始 f m 的抽样值惟一地确定。 2 的连续信号。因此，允许只传送这些抽样值，信道仅在抽样瞬间被占用，其余的 空闲时间可供传送第二路、第三路 等各路抽样信号使用。将各路信号的抽 样值有序地排列起来就可以实现时分复用，在接收端，这些抽样信号值由适当的 同步检测器分离。当然，实际传送的信号并非
