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1、9 车辆随机振动车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是由于轨道不平顺的随机激励而引起的。本章主要介绍随机振动以及相关的概念，以及单轴车模型在随机激励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善车辆运行平稳性的途径。所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用（对柴油机） ；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映这些作用。第一节随机过
2、程的统计特性一、随机过程的统计特性1随机过程的基本概念一切物理现象可分为两类：在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象； 如在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的振动，激励力是已知的简谐力 ，车体受激励而产生的tFsin0振动规律由 来描述。车体在任意时间 t 的振幅和加)sin()(0txt速度都可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引起。反之在给定时间 t 物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。如在任意时间 t 的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方法对其进行整体描述，这种振动称为随机振动。在随机振动中的一些量如振幅和加速度称为随机变量
3、。随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。随机过程：不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称为随机过程。随机过程是一簇 n 个随机变量的总集合。其中任一个元素称为随机过程的样本。振动的时间历程：以时间 t 横坐标，以振动量（位移、速度和加速度）为纵坐标的线图，常称为振动波形图。X1(t)ntx2(t)xn(t)t1 t1+ t2 tm 在研究许多随机过程时通常作如下徦设：1） 平稳性假设若一随机过程 x（t）在任何时间 t1时的概念统计规律与 t1+时的一样，即过程的概率统计规律不因时间的推移而改变，则称 x(t)为平稳随机过程；2）各态历经性徦设随机振动的统计特性是考虑全部子
4、样而得到的。如果在任一时间 ti跨越总集合的统计特性与单个子样 xi(t)的统计特性相等，则称这个随机过程为各态历经的。3) 随机振动过程的概率分布符合正态（高斯）分布规律。二、随机变量的概率密度和均值为了描述随机过程的特性，采用时域上的各种参数和频域上的参数来进行。先了解如下概念。1 幅值概率密度（概率的定义：E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一实数，记为 P（A） ，称为事件 A 的概率，如果它满足下列条件：1。对于每一事件 A 有0P（A）1，2。P（S）13。对于两两互不相容的事件 AK（ ）有,21kP（ ）P（A 1）P（A 2）P（A n）) nA
5、21幅值概率密度用 表示.)(xp幅值概率密度 是随机变量瞬时值出现于某一单位幅值区间内的概率。随机振动幅值处于 x 到 x+x 之间的概率是 )(xp幅值 T1 t2 t3 tn在振动时间历程上x+xx)(xp)(12nttTtni1T概率密度曲线 )(xp )(xp愈精确。xdT)(X 2x1与 x2对应的面积就是 x1与 x2之间的幅值出现的概率x0 x1 x1+其值为 )(xP21)(2 统计平均值与概率分布随机振动的幅值特性由时间域内的下列均值来描述：1）平均值或xE)(TdtxE0)(12)平均绝对值或xx)(Ttx0)(3） 均方值或xE)(22 TdtxE022)(14）均方根
6、值或xxrms)(2 Trmstx02)(平均值 为 T 时间内 x(t)的算术平均值，代表了随机变量的稳态E量。当平均值 0 时， 和 就分别等于统计学中的方差 和标x2xErms 2准离差 。方差的定义为 2)(2表示随机变量在其平均值两边的分布特性。2均方值和均方根值能表征随机振动所含的能量，是个重要的描述量。对于振幅为 的正弦波，平均值 00xxE均方值 E)(22)(220随机振动的概率分布通常服从正态分规律，若振动瞬时值为 x，幅值的平均值 m。x其幅值概率密度 )(p2)(1mxem 值的改变将使 曲线沿 x 轴平移而不改变其形状。x改变时将使 曲线形状改变，但曲线和 x 轴之间
7、所围的面积)(仍然不变而等于 1。愈小，则该面积愈集中于平均值 m 的附近。随机振动幅值的概率主要分布在3 之间。占到 99.7%。+xx(t)3 m m3 0 p(x)0-x随机振动幅值的正态分布因此常把 m+3 作为随机振动的最大幅值。正态分布的均方值可由这两式求得，xE)()(222m 2+x三、随机过程的相关函数与功率谱密度函数（一）相关函数1自相关函数 随机过程的自相关函数定义为 的平均值)(tx即 )(tERx对于各态历经随机过程，每个样本函数的自相关函数定义为dtxtTRx0)(1lim)( )(xRt 2xEm 2X 1X 2t oT时间历程 自相关函数曲线描述的是一个特定的
8、瞬时幅值与先前某一瞬时 t 时)(xR)(t的幅值的关联程度。 小，x(t+)与 x(t)关系密切； 大，x(t+)与 x(t)关系不密切。x(t)所决定的成分减少。 也就小。当 ，x(t+)与 x(t)无关，)(xR此时，就衰减到随机变量平均值的平方，或衰减到零。)(xR当 0 时，自相关函数为202)(1lim)(xEdtxTx 上式表明，自相关函数的最大值即等于该随机变量的均方值。如果 x(t)是周期性函数，则其自相关函数也是周期性的。2互相关函数两个不同的平稳随机函数 x(t)与 y(t)之间的互相关函数定义为：)()(tyxERxy和对各态历经过程，可以用样本函数的互相关函数来表示，
9、即 dtytxTRxy0)(1lim)(ttyx0li对于大多数随机过程，时差 越大则相关性越弱，当 很大时，可以认为 x 与 y 互不相关，此时有yxyxmR)()(互相关函数的图线形状和自相关函数相类似，但其左右的对称轴不象后者是在 0 时，而是在某一 0 时互相关函数达到最大值。（二） 、功率谱密度函数1功率谱密度函数1） 从频域上，用功率谱密度函数来描述。功率谱密度函数用 Wx（f）表示。用谱密度的均方值对随机变量的频率结构进行描述。对随机振动而言，表示振动能量在频率域上的分布。其定义为随机变量 x(t)在微小频带宽度 内的均方值除以带宽fW x（f） Tfdtxf02)(1lim：某
10、一窄频的带宽；：在 范围内的变量，即经过带宽为 的窄带滤波器后的)(tff f变量，如振动量。 （位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有 项，表示了系统的能量如振动系统的位能。 （动)(2tx能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比） 。故 Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”来命名，实际上 Wx（ f）本身并不包含功率的意思，故称其为均方谱密度函数更确切。还被称为：功率谱（power spectral density ）PSD自功率谱谱密度W x（f）纵坐标为 Wx（f） ；横坐标为f；频率范围在 fa 、f b 之间；f1、 f2 的振动分量较大；fO fa f1 f2 fb 宽频带
11、的随机功率谱图频谱图可通过将实测的随机振动的时间历程记录经频谱分析仪得到。功率谱密度函数的单位：（随机变量单位） 2/单位频率。如当 x(t)是振动位移的时间历程时，其谱密度单位为（位移）2/HZ。当 x(t)是振动加速度的时间历程时，其谱密度单位为（g） 2/HZ。 当 x(t)是轨道不平顺波形时，其谱密度单位为（mm ） 2m/周 。功率谱图形的意义： Tffx dtxW020)(1)(lim上式左边为上图中以阴影表示的微面积；右边为微小宽带 内的均方值。f于是在整个频带范围内由 Wx（f）和横坐标所围的面积就等于全部宽带内的相应的均方值之和。即等于 x(t)的总的均方值 2XE功率谱的作
12、用：通过对它的分析，有助于了解随机振动的机理，有助于进行振动模拟。如已测得轨道不平顺的功率谱，就可对其进行谱型模拟，用它作激励函数在室内对车辆进行振动模拟试验，由此而得到试验结果和车辆在实际线路上运行的结果具有相同的特性。在随机过程理论的推理中，常用傅里叶变换来表明自相关函数和功率谱密度函数间的关系：（1）deRsjx)(21)(（2）Sjxx称为自相关函数 的傅里叶变换，而 则称为 的)(xS)( )(xR)(xS傅里叶逆变换。在（2）式中令 0 则得 dSRxx)()0(因 ，故2)(xERxx2这样，又得到了均方值 等于 曲线与横坐标 轴之E)(S间面积的关系式。上式中的 称为双边功率谱
13、。W x（f ）称为单边功率谱)(xSW x（f）dddff )(d)(d2d两种功率谱的关系式为2 d= Wx（f）df)(xS而 f=/2 df=d/2所以，有 Wx（f）4 )(x2互功率谱密度函数两个随机过程的互谱密度函数定义为这两个过程的互相关函数的傅里叶变换。即 deRSjxyxy)(21)(ejyxyx)()(互谱密度的一个重要性质是两者为共轭复数，即)(xyS)(yxyxxy第二节线性系统随机响应的基本特性当系统的激励与响应可以用线性微分方程描述时，成为线性系统。若系统方程中的系数不随时间而变，则称为常系数线性系统。一、线性系统的基本特性常系数线性系统具有如下特性：1） 叠加性
14、：若系统的激励函数 x1(t)单独作用下，对应于某一响应为 y1(t),在 xn(t)作用下的响应为 yn(t),则在 x1（t）x 2(t)、。 。 。x n（t）的同时作用下总的响应 y(t)为 y1(t) 、y 2(t) 。 。 。y n(t)之和；2） 齐次性当激励的输入项按某一倍数变化时，输出量也按同一倍数变化；3） 频率保存性系统在频率为 的谐和函数激励下，其响应也具有相同的频率 ，不会引起频率的转换，而只能改变相位和振幅。线性系统适用于叠加原理，可使问题简化。这样可将系统分解为一个输出对应于一个输入来研究，然后将响应进行叠加即得系统总的响应。二、频率响应函数线性振动系统受到谐和函数 x(t)=x0sint 激励时，其响应也具有同频率的简谐波，但存在相位差 ，即 y(t)=y0sin(t+).因此，用振幅比 y0/ x0 和相角 就可确定系统的传递特性
