《【2017年整理】8-9 均匀导电媒质中的赫兹矢量 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】8-9 均匀导电媒质中的赫兹矢量 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章节安排8.1 电磁场的势 8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程 达朗伯方程8.3 达朗伯方程的解 推迟势8.4 推迟势的偶极展开8.5 电偶极辐射和磁偶极辐射86 均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程8.68.7 均匀导电媒质中的赫兹矢量8.8 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程 8.6 均匀导电媒质中电磁场势满足的微分方程1、磁场势的微分方程2、电场势的微分方程8.6 均匀导电媒质中电磁场势满足的微分方程在 8.2中我们讨论了均匀非导电媒质中电磁场势所满足的微分方程式：2 A)428()32.8(2222=ffUUjtA0=+tUA 这些方程中， 和 是已知量。 但对于导电媒质来说，由于它
2、们都受电场的影响 而不是已知量 所以用洛伦兹规范条件得到的上述达朗伯方程 实际上ffj.2=t， 。 ，是无用的。因此在导电媒质中需重新来讨论电磁场势满足的微分方程。GGfjGf由于 是由导电媒质中电场本身作用所引起的，因此 已不是已知量，必须使得到势所满足的微分方程中不出现 或 。fjGEjf=为此将 代入麦克斯韦方程组的第一方程中，得到： EjfGG=KtEEH+=KK1、磁场势的微分方程0= BG从 出发，令 ，将其代入麦克斯韦方程组的第 二方 程 组 中 ， 得到 ：ABGG=AK第程中由于梯度的旋度恒为 0 因此引入 一 标量势 使 ：0=+tEKUAE KK， 标量势 ， 使 ：A
3、UEt=+KK（ 8.6-2）将 B和 E代入麦克斯韦方程组第一方程中得到：t AAUKKK2+=tUttA 2根据矢量分析公式：( ) AAAKKK2=代入得到：()tAUtAtUAA=KKKK222将上式写成：2KK()tAUtAtUAA=KKKK22222tAtAAtUUA=+KK上面的 A和 U不是单值的，所以对 A和 U的值可以有任意的选择性，为了使上式简化，可以选择 A和 U，使之满足一个附加条件：0=+ UtUA K（ 8.6-3）0=+tUA 也称为 洛伦兹条件 。因此，得到矢量势 A满足的微分方程：022=AAAKKK（ 86-4）2tt另外，将 8.6-2代入麦克斯韦方程组
4、的第四方程中，得到：（ 8.6 ）0= AtUEKK将 8.6-3代入上式得到标量势满足的微分方程：0222=tUtUU （ 8.6-5）2、电场势的微分方程由 显然也可以引出一个矢量 A*，使：0= DK*ADKK=（ 8.6-6）将它代入到麦克斯韦第一方程中，得到：*AtAHKK+=*KK0= AtAH由于梯度的旋度恒为 0， 因此引入 一 标量势 U*， 标量势*UAtAH +=KK（ 8.6-7）将 8.6-6和 8.6-7代入麦克斯韦第二方程组中，得到：*K+=*UAtAtAK根据矢量分析公式：( )*2*AAAKKK=代入上式得到：()*2*2*2*UttAtAAA += KKKK
5、2*2*2*tAtAAtUA=KKKK上面引入的 A*和 U*不是单值的，所以 A*和 U*的值有任意的选择性，为了使上式简化，可以这样选择 A*和 U*，使满足如下附加条件：0*=tUA K（ 8.6-8）称为洛伦兹条件 。于是，矢量势 A*满足的微分方程：0*2*2=AAAKKK（ 86-9）2 tt称为矢量势 A*的传播方程。（ 8.6 ）将 8.6-7式两边取散度：0*=+= UAtAHKK0*2=+ AtAUK将 8.6-8式代 入上 式中 ， 就得到 U*满 足的 微分方程 ：将 式中 微分方程0*2*2*2=tUtUU （ 8.6-10)称为标量势 U*的传播方程。8.6-4，
6、8.6-5， 8.6-9， 8.6-10式是在均匀导电媒质中电磁场势的两组规范（ A， U）和（ A*， U*）在 洛伦兹规范条件 下满足的微分方程，它的矢量势与标量势具有对称的形式 ， 方程中与时间 一 次导数有关的项是与， 次导数有关的项是与导电媒质的电导率 有关的一消耗项，表示 导电媒质中势的传播是衰减的 。习题 83 利用库仑规范代替洛仑兹规范条件 推导电磁场势 A和 U满足的微分方程0= BG从 出发，令 ，将其代入麦克斯韦方程组的第 二方 程 组ABGG=K8.3 ， 和 。第程tAtBE=KAK0=+tAEK由于梯度的旋度恒为 0，因此引入一标量势 U，使：AUEUtE=+KKK
7、（ 862）将 E代入麦克斯韦方程 组 第四方程t= （ 8.6- ）将 代入麦克斯韦方程 第四方程fUtAUtAUE =2KKKfU =2由麦克斯韦方程组的第二方程 = AAABH221)(11K+=+=tAUtjtDjfffjUttAA =222习题 8.2 电磁场势 A和 U满足，用赫兹矢量表示为下式试证明洛仑兹条件仍然满足=UtA=。U0=+ tttA非导电介质8.7均匀导电媒质中的赫兹矢量1、磁场赫兹矢量的微分方程2、电场赫兹矢量的微分方程1 磁场赫兹矢量的微分方程、由前已知，电磁 场 可以由 场 强 B和 E或由电磁 场势 A和 U来 描述。场场 来赫兹证明电磁场可以用单一的矢量函
8、数 来描述，称之为 赫兹矢量势 或简称 赫兹矢量 。设标势矢量 称为 赫兹矢量 将其代入 （ 863） 式中=U， （ 8.6 ）0=+ UtUA K此式最简单的解是0)( =tAKA+=KtAA KK2232 代入（ 8.64）ttA=K22)()(23222ttttt +=+0)()(222222=+ttttt =tt222 =ttCe=由此可知 当 时 所以对于 个建立已久的交变， 当 时 ， 一 个建立已久的交变电磁场来说，可以假设 ，即有t 00=（ 8.71）0222=tt这就是赫兹矢量满足的微分方程，称之为赫兹矢量 的传播方程。2 电场赫兹矢量的微分方程可以假设*U、这个矢量 也
9、称为赫兹矢量，将上式代入（ 8.68）式中，得到=*0*=+ tA0*=tUA K这个式子最简单的解是A*将其代入 （ 869） 式中t= 0*2*2=AAAKKK（ 8.6 ）得到0)(*2*2= 2 tt2 ttt故得常数=*2*2*2设此常数为零 ， 则得到 满足的微分方程为常数 tt*，（ 872）0*2*2（ 8.7 ）称之为赫兹矢量 的传播方程2=tt*。8.8谐变电磁场势的赫姆霍兹方程1、 势的赫姆霍兹方程2、矢势与场强的关系3、矢势的边界条件1、 势的赫姆霍兹方程实际中，可以将交变电磁场看作谐变场，即是按正弦或余弦规律变化的场，假设)(0)(0,krtikrtieBBeEE=故
10、得到i=22=利用上面的算符可以将（ 8.64）式写成t2t02222=+= AiAAAAAKKKKKK2 tt即0)(22=+ AiAKK即或022=+ AAKK或式中， 是复介电常数，故 称之为复波数。于是上式可以写成22=k)( i+=称之为矢势 A满足的赫姆霍兹方程022=+ AkAKK。同样可得022=+ UkU00*2*2*2*2=+=+UkUAkA0*2*222=+ k0=+ k2 矢势与场强的关系、由于矢势 均满足赫姆霍兹方程，因此可在一定的边界条件下求解赫姆霍兹方程 从而得到*和、 AA*和AA，但是我们需要的往往是场强 E和 B，即要从解出的矢势来求场强 和 现在分别讨论之
11、和、强 E和 B。 。（ 1）已知 A，求 B和 EABK=K（ 8.81）AiUtAUE =由洛伦兹规范条件（ 8.63）式可知0+ UUA K=t故0=+ UUiA K于是得到AiAU=即2ki + AAiE )(1即由于 ，并且 ，代入上式中，得=k2( ) AAAKKK2=022=+ AkAKKAkiE =2（ 8.8-2）（ 2）已 知 A*， 求 B和 E知 求 和*ADK=即（8.83）*1AEK=（ 8.84）*UAtAH +=KK由洛仑兹规范条件（ 8.68）式*0*=+= UiAtUA KK*AiUK=代入（ 8.67）式中，得 A 1*AAkAiAiiAiAH)()()(*2*+=+=K由于 并且 代入上式*2*)(*2*2i+=， ，中，得（ 8.85）AAA =AkA =AB*（ ）ii i=*2)1( AkB +=（ 3）已知 ，求 B和 E.由于 )1( iitA +=+=K即 2 kiiA =K故得 （ 8.86）= 2ikiAB又因 UtAE =而将 代入上式，得 =U（ 8.87） =+= )(2kE(4)已知 *，求 B和 E.由于* itA =故得 （ 8.88）*1= iAE因为*UtAAH +=KK即)()1()(*
