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1、一、可逆矩阵的概念,二、可逆矩阵的判定、求法,4.4 矩阵的逆,三、逆矩阵的运算规律,四、矩阵方程,一、引例,一、可逆矩阵的概念,定义,设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得,ABBAE,则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.,注：, 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作, 单位矩阵 E 可逆，且, 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且,2. 逆矩阵的唯一性,若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .,证明,设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义,有 AB = BA = E，AC = CA = E，,于是,B = BE,= B( AC ),= ( BA )C,= EC = C .,所以逆矩阵唯一.,
2、证毕,三、矩阵可逆的条件,现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆,的？,如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？,为此先引入伴随,矩阵的概念.,二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法,定义,1、伴随矩阵,称为A的伴随矩阵.,性质：,余子式，矩阵,设 是矩阵中元素 的代数,证：由行列式按一行（列）展开公式,立即可得,同理,非退化的），且,证：若由,所以，A可逆，且,两边取行列式，得,2、定理：矩阵A可逆当且仅当 （即A,得,反过来，若A可逆，则有,则A、B皆为可逆矩阵，且,证：,由定理知，A、B皆为可逆矩阵.,从而,再由,即有，,3、推论：设A、B为 n 级方阵，若,例1,判断矩阵A是否可逆，若可逆，求
3、其逆.,解：1）, A可逆.,再由,有, 当时，A可逆.,且由于,三、逆矩阵的运算规律,(5) 若A可逆，则 亦 可逆，且,(6) 若A可逆，则 亦 可逆，且,当 时，定义,注：,则有,设方阵 A 满足,证明： 与 皆可逆，并求其逆.,例2,由,即,故 A 可逆，且,再由,得,即,证：,得,五、克拉默法则的另一证法,利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种,推导法.,线性方程组,可以写成,AX = B . (6),如果 | A | 0，那么 A 可逆.,用,X = A-1B,代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说 A-1B,是一解.,如果,X = C,是 (6) 的一个解
4、，那么由,AC = B,得,A-1( AC ) = A-1B ，,即 C = A-1B .,这就是说，解 X = A-1B 是唯一的.,用 A-1 的公式 (4),代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.,四、矩阵方程,1. 线性方程组,令,则（1）可看成矩阵方程,若A为可逆矩阵，则, 矩阵方程,若A为可逆矩阵，则,2. 推广, 矩阵方程,若A为可逆矩阵，则, 矩阵方程,若A, B皆可逆，则,3. 矩阵积的秩,证：,令,又P可逆，,由定理2，,有,故,例3 解矩阵方程,解：,.,注:,练习,可逆，且,例 4 解下列矩阵方程,AXB = C 其中,解 由已知易得 X = A-1CB-1 ,下面求
5、 A 和 B 的逆阵.,所以,例 5 设 n 级矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明,(A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.,证 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:,A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1),= A-1(B + A)B-1 .,由可逆矩阵的性质可知,(A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A.,同理可证另一个等式也成立.,例 6 设 A 为 n 级方阵( n 2 ) ,证明,|A*| = |A|n-1.,证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以,|A| |A*| = |A|n (4),下面分三种情形讨论:,(1) |A| 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即,得 |A*| = |A|n-1.,(2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成,立.,(3) |A| = 0, 但 A O, 反设 |A*| 0, 则 A* 可逆,因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|E)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O,故 A = O, 与 A O 矛盾, 所以, |A*|=0=|A|n-1.,
