《《统计学》-单薇主编-第5章 抽样与抽样分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《统计学》-单薇主编-第5章 抽样与抽样分布（108页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 抽样与抽样分布,学习目标,理解随机试验和随机事件的概念，了解事件之间的关系；理解概率的定义，掌握概率的运算法则；理解随机变量和概率分布的概念；掌握二项分布的主要特征及其应用；掌握正态分布的主要特征及其应用；了解随机抽样方法； 了解抽样分布的形成过程，理解抽样分布的意义，掌握抽样分布的性质；理解大数定律和中心极限定理。,目录,抽样调查概述抽样估计的原理抽样分布SPSS在概率论中的应用,5.1 抽样调查概述,抽样调查：按照一定的规则从总体中取出一部分单元组成一个样本，并收集样本的数据资料的过程，简称为抽样。样本：按照一定的抽样规则从总体中抽取的一部分单位组成的集合。根据抽样的原则不同，抽样
2、方法有随机抽样和非随机抽样两种。随机抽样：根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样非随机抽样：研究人员有意识地选取样本单位，样本单位的选取不是随机的。,随机抽样的特点:按一定的概率以随机原则抽取样本；抽取样本时，使每个单位都有一定的机会被抽中。每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的；当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率。,5.1.1 简单随机抽样,简单随机抽样：从总体N个单位中抽取n个单位作为样本时，使得每一个总体单位都有相同的机会(概率)被抽中也称纯随机抽样是抽样调查中应用最多的方法之一也是最基本的抽样方法之一,简单随机抽样抽取元素的具体方法有：重
3、复抽样：从总体中抽取一个单位并加以计量后，把这个单位放回到总体中再抽取第二个单位，直到抽取n个单位为止；不重复抽样：一个单位被抽中后不再放回总体，然后再从所剩下的单位中抽取第二个单位，直到抽出n个单位为止。,特点：简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本；用样本统计量对目标量进行估计比较方便。局限性：当N很大时，不易构造抽样框；抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难；没有利用其他辅助信息以提高估计的效率。,5.1.2 分层抽样,分层抽样：在抽样之前先将总体的单位按某种特征或某种规则划分为若干层（类），然后从不同的层中独立、随机地抽取一定数量的单位组成一个样本，也称分类抽样（stratif
4、ied sampling）。在分层或分类时，应使层内各单位的差异尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能大。,分层抽样的优点：既可以对总体进行估计，也可以对各层的子总体进行估计；抽样的组织和实施都比较方便；分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本在总体中的分布比较均匀；估计的精度高。,5.1.3 系统抽样,系统抽样：在抽样中先将总体各单位按某种顺序排列，并按某种规则在一定的范围内随机确定一个起点，然后每隔一定的间隔抽取一个单位，直到抽取n个单位为止，也称等距抽样或机械抽样。从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，然后依次取r+k，r+2k，r+(n-1)k优点：简便易行；系统抽样的样本在总
5、体中的分布一般比较均匀，由此抽样误差通常要小于简单随机抽样。缺点：对估计量方差的估计比较困难。,5.1.4 整群抽样,整群抽样：调查时先将总体划分成若干群,然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，进而对抽中的各个群中所包含的所有个体单位进行调查和观察。特点：抽样时只需群的抽样框，可简化工作量；调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施。缺点：估计的精度较差。,5.2 抽样估计的原理,抽样估计：在抽样调查的基础上，利用样本的数据资料计算样本指标，以样本特征值对总体特征值做出具有一定可靠程度的估计和判断。是由部分推断总体的一种认识方法，建立在随机取样的基础上，主要运用不确定的概率估计方法（分布
6、理论、大数定律、中心极限定理和抽样分布理论），其误差可以事先计算并加以控制。其目的是用样本统计量来推断总体参数。,在简单随机重复抽样中，每次抽样都是独立的。如果从总体N个单元中抽取容量为n的样本，随机变量Xi表示第i次抽样的结果，则Xi服从在总体N个单元上均匀取值的多项分布，所以 为独立同分布随机变量序列X1, X2, , Xn和的一个取值，其中,如果总体中具有性质的A单元的比率为，随机变量Yi=1表示第i次抽样取得的样本单元具有性质A，否则Yi=0，则Yi服从概率为的两点分布，所以np为独立同分布随机变量序列Y1, Y2, , Yn和的一个取值，其中关于独立同分布随机变量和的概率分布，大数定
7、律和中心极限定理给出了很好的解释。,5.2.1 抽样估计的基本理论,概率与概率分布必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果；这种关系通常可以用公式或定律来表示。随机现象（不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象；个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定；大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性） 统计规律性。,十五的夜晚能看见月亮？,十五的月亮比初十圆！,1. 随机试验,严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（
8、或实验）实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。,2. 随机事件,随机事件（简称事件）：随机试验的某一个可能结果，常用大写英文字母A、B、 来表示。基本事件（样本点）：不可能再分成为两个或更多事件的事件。复合事件：由简单事件组合而成的事件。样本空间（ ）：基本事件的全体（全集）。,两个特例,必然事件：在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。只有样本空间 才是必然事件不可能事件：在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。不可能事件是一个空集（）,3. 随机事件的概率,概率：用来度量随机事件发生可能性大小的数值。必然事件的概率为1，表示为P ( )=1不可能事件发生的可能性
9、是零，P( )=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A) 1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。,概率的古典定义,前提：古典概型定义（公式）【例】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？,概率的统计定义,若在相同的条件下重复进行的n次试验中，事件A发生了m次，当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值计算概率的统
10、计方法（频率方法）,【例】根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。,【例】某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？,主观概率,有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似。主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小。 例如某经理认为新产品畅销的可能性是80人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据。,4. 概率的性质,非负性：对任意事件A，有 P(A)0规范性：必然
11、事件的概率为1，即： P()=1可加性：若A与B互斥，则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。,概率的公理化定义,概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础,5. 条件概率,条件概率：在某些附加条件下计算的概率在已
12、知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B)条件概率的一般公式：其中 P(B) 0。乘法公式： P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率。即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了。,一旦事件B已发生,【例】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：
13、设A“甲厂产品”，B“一级品”，则： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率 P(B|A)0.28/0. 4,【例】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1第一次抽到合格品 A2第二次抽到合格品 A1A2抽到两件产品均为合格品,6. 事件的独立性,两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B)独立事件的乘法公式： P(AB) P(A)P(B
14、)推广到n个独立事件，有：P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),7. 随机变量,随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举,8. 离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系概率分布具有如下两个基本性质： pi0，i=1,2,n；,离散型概率分布的表示,概率函数：P(X= xi)= pi分布列：
15、分布图：,离散型随机变量的数字特征,数学期望：方差：性质：,伯努利试验,伯努利试验：每次试验有且仅有两种可能结果。用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”。每次试验中“成功”的概率都是 p。n重伯努利试验：将伯努利实验独立地重复进行n次。,二项分布,在n重伯努利试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X B(n , p)二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）。,二项分布图形,p0.5时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的p0.5时峰值在中心的右侧,p=0.3,p=0.5,p=0.7,二项分布图示,9. 连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f (x)的函数值不是概率连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示,
