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1、 1关于幂零矩阵的几个注记杨娇(051114224)(孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000)摘要:给出了 幂零矩阵的一个新的性质,证明了矩阵为幂零的一个等价条件,修n正与改进了近期幂零矩阵的一些结果关键词:幂零矩阵;向量;特征值;矩阵的迹;伴随还原阵On several of nilpotent matrixYang Jiao( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei 432000)Abstract: presents a new nilpotent matrices, proved
2、 a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix.Keywords: nilpotent matrix;vector;eigenvalue;the matrix trace;with reduction1 引言:问题的提出在 2009 年全国硕士研究生入学考试试卷(数学一、二、三)中有这样一道解答题:题目 1 设 ,1042A12()求满足 , 的所有向量 ;21313,()对()中的任一向量 ,证明: 线性无关2,1
3、2,我们先来看看供题者提供的参考答案:解()解方程 21A 2,11111, 00204220A,故有一个自由变量.令 ,由 解得 , ,求rank()23xAx21x特解,令 ,得 .故1x13x,其中 为任意常数.021k1k解方程 ,231A, ,042 02120412),(12A故有两个自由变量.令 , ,由 得 ,2x3xA1令 , ,由 得 .0102求特解 ,故 ,其中 , 为任意常数.021010323k2k3()由于行列式,02110122, 3213321 kk故向量组 线性无关123,这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体,立意于平实处见
4、新颖,背景公平,知能并举,考查了相应的知识点解答完本题,笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解,而且能使()中的任何三个向量 都线性无关,对于矩阵 及向量 的构造,是否有一123,A1 3些特别的要求?或者带有某种巧合?在对试题构思精密赞叹之余,我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的?即试题的设计是以哪些知识材料为背景的?我们希望对该试题的的命题思路做些分析,以回答以上问题对试题中的矩阵 ,通过计算可得 ,但 ,满足该性质的矩阵A30A2称之为 幂零矩阵A3定义1 2 设 ,若存在正整数 ,使 , ,则称 是nPm10mA幂零指数为 的幂零矩阵,也称 是 幂零矩阵mA本文将把上述试题中蕴涵
5、的结论进行推广,给出一个一般性命题,该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质除此之外,本文还将对大学数学期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中,关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定;对数学研究与评论期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中,关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法,并且同时推广这个结论到任何的无限域;最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件,借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明更重要的是,它可以帮助我们发现,在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是
6、可以取消的本文用 表示数域, 表示 上的 阶矩阵的集合, 表示矩阵PnPnrank()A的秩, 表示单位矩阵, 表示 的伴随矩阵AEadjA2 几个引理关于幂零矩阵的一些常见性质,在许多文献中都有论述,本文仅罗列如下两个基本性质,以备后文中引用,对于它们的证明及其它性质,本文不再赘述引理1 2设 , 是幂零矩阵 的特征值全为零nAPA引理2 2设 , 是 幂零矩阵 的最小多项式m为 ()mf为了后面结论的证明,我们再建立几个引理: 4引理 3 设 阶矩阵 满足 ,则对使 的 维列向量 ,nA10,n10nA向量组 线性无关21,n证明 由引理知 ,则存在 维列向量 ,使 ,下面rak()n1n
7、证明向量组 线性无关:1,nA设 ,对该等式两边以 左乘之,得 ,120nkk 1nA10nkA故 ,再对等式 以 左乘之,得 ,021230nk 22故 ,同理可得 ,因此向量组 线性无2knk 1,n关引理 4 设 是 阶矩阵,并且满足 , ,则 ,A0nA1nrak()iAi1,i2n证明 因为 , ,所以 的最小多项式是 ,故 的0nA1nA()nndA不变因子为 , ,故 的若当标准型为121()()ndd ()nndA0因此存在 阶可逆矩阵 ,使得 ,这里 为 阶单位矩nP110nEA1n阵,经过计算得 231213110 0, , ,00nnnnEPAPPA 由此得 , rak(
8、)ii,引理 5 设向量组 线性无关,向量组 如下定义:12n 12,n 51223331,1nnnk 则向量组 也线性无关12,n证明把向量等式写成矩阵形式 21121212(,)(,)nnnk 上式右端的上三角矩阵可逆,由 线性无关,即得 也线性12,n 12,n无关引理 62 如果 、 都是一个 矩阵,则 ABadj()j(ad)ABA引理 72 如果 是 矩阵( ),那么n2rnk(),rakdj1a10.A当当当引理 8 如果 是一个 矩阵, 时,则Anrnk()(1) ;12(,)nnab(2) 2Ak证明(1)因为 ,所以存在可逆矩阵 使得 ,ra()1A,PQ10A 6即 ,1
9、1 100(,)APQPQ若记 , ,则 1210naP12(,0)(,)nb 12(,)nnaAb(2)由(1)所证,记 ,则1nika1 12221 12(,)(,)(),)nnni nnaAbbaba 12(,)nnakbkA引理 92 对任何 阶矩阵 ,有 ,Btr()0A3 几个注记3.1 幂零矩阵的一个命题n在本节,我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广,给出一个一般性命题:定理 1 设 是 阶矩阵, 是 维非零列向量,如果 , ,An1n0nA1n并且线性方程组 有解,则1x()对任一 ,线性方程组 均有解;i1iAx()记 的任一解为 , ,那么 线性无1iAx1i,2n 1
10、2,n关 7证明 ()根据题设,线性方程组 有解,设 为它的一个解,1nAx即则对 ,由 ,知 是线性方程组1nA1in11()ini1ni的一个解;1ix() 根据()中的 ,由引理 3 得10nA线性无关221,nAA首先考虑线性方程组 的通解:由引理 4 知 ,由于1xrank()1是它的一个特解,而 是齐次线性方程组 的一个非零解,它构2n n 0Ax成 的一个基础解系,故线性方程组 的任一解 可表为形式0Ax 12122nnk再考虑线性方程组 的通解:由 ,由于 是它的1Axra()A3nA一个特解,而 是齐次线性方程组 的一个线性无关的解,它12,n 20x构成 的一个基础解系,故
11、线性方程组 的任一解 可表为形式20Ax 1312333nnnkAA类似的,有,1234444nnnnk,12,1nnn nkAA由于 线性无关,由引理 5 即得 也线性无关12,nA 2,n注 1根据定理 1 及证明,该类解答题的制作思路是:取,其中 为任意可逆矩阵,而 为矩阵 的所有0nEPP110EP列向量的线性组合,它们就可以保证定理 1 中的线性方程组有解,且线性无关12,n 83.2 幂零矩阵的伴随阵问题在数学研究与评论期刊 2000 年第 2 期发表了贾利新博士的“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一
12、文,该文证明了任何 幂零阵的伴随矩阵或者是 2-幂零阵,或者是零矩阵即下面的m定理 23 设 ,如果有正整数 使 ,则 nACm0A2(adj)0文献3在证明上述结论的过程中,是通过考虑矩阵 的若尔当标准形,利用极限过程的方法进行的,证明过程显得过于繁琐下面,我们将仅仅利用高等代数中的几个常见的基本结论(引理 6、引理 7、引理 8),对定理 2 予以简证:定理 2 的简证 由 ,知 ,且由引理 6,0mArank()A得 若(adj)0mA,由引理 7,得 ,即得 ,故 ;若rnk1rank(dj)adj2(adj)0,由引理 7,得 ,由引理 8,得 ,a() 1AAk从而有 ,即 ,根据
13、 ,知 ,1dj(adj)mAk1(aj)0mkrank(j)1aj必有 ,从而 ,因此 10k 2dj注 2 文献3中由于用到若尔当标准形及极限过程,自然要求矩阵 在复A数域上考虑,根据我们的证明知道,可以推广这个结论到任何的无限域注 3 在早期的不少文献中也证明了幂零矩阵的伴随矩阵是幂零的,如文4等其证明过于复杂,如果仅证明该结论的话,由前面的引理 6,可以导出公式 ,于是立得 结论adj()jmA0(adj)0mmA3.3 幂零矩阵的伴随还原阵问题在大学数学期刊2006年第5期发表了孙胜先的“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文,该文中提出了幂零矩阵的一个论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若
14、存在) 必不是幂零的”,我们将举出一个反例对该结论予以否定为讨论的方便起见,先给出伴随还原阵的定义及必要的一些说明:定义2 6 对于复数域上 阶方阵n 9,若有 阶方阵 满足 , 称为 的一个伴随还原阵AnBadj()AB对于复数域上任一 阶方阵 ,根据引理7, 反之,n rank(dj),10A若 ,文献6 证明了必有 阶方阵 满足 ,即 一定rak(),10B存在伴随还原阵,但一般不唯一对任何 阶方阵 ,当 时,如果2,则 一定不存在任何伴随还原阵文献5中讨论了满足1rn()A与 的伴随还原阵问题,给出了下面的命题20ak1命题1 5 设 , , ,当 时, 不存在幂零nC20Arank()12nA的伴随还原阵.我们指出该结论不真,为此构造反例:反例取 阶方阵 , ,可以验证:n010A