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1、 1关于幂零矩阵的几个注记杨娇（051114224）（孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：给出了 幂零矩阵的一个新的性质，证明了矩阵为幂零的一个等价条件，修n正与改进了近期幂零矩阵的一些结果关键词：幂零矩阵；向量；特征值；矩阵的迹；伴随还原阵On several of nilpotent matrixYang Jiao( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei 432000)Abstract: presents a new nilpotent matrices, proved
2、 a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix.Keywords: nilpotent matrix；vector；eigenvalue；the matrix trace；with reduction1 引言：问题的提出在 2009 年全国硕士研究生入学考试试卷（数学一、二、三）中有这样一道解答题：题目 1 设 ，1042A12（）求满足 ， 的所有向量 ；21313,（）对（）中的任一向量 ，证明： 线性无关2,1
3、2,我们先来看看供题者提供的参考答案：解（）解方程 21A 2，11111, 00204220A，故有一个自由变量.令 ，由 解得 ， ，求rank()23xAx21x特解，令 ，得 .故1x13x，其中 为任意常数.021k1k解方程 ，231A， ，042 02120412),(12A故有两个自由变量.令 ， ，由 得 ，2x3xA1令 ， ，由 得 .0102求特解 ，故 ,其中 , 为任意常数.021010323k2k3（）由于行列式，02110122, 3213321 kk故向量组 线性无关123,这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体，立意于平实处见
4、新颖，背景公平，知能并举，考查了相应的知识点解答完本题，笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解，而且能使（）中的任何三个向量 都线性无关，对于矩阵 及向量 的构造，是否有一123,A1 3些特别的要求？或者带有某种巧合？在对试题构思精密赞叹之余，我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的？即试题的设计是以哪些知识材料为背景的？我们希望对该试题的的命题思路做些分析，以回答以上问题对试题中的矩阵 ，通过计算可得 ，但 ，满足该性质的矩阵A30A2称之为 幂零矩阵A3定义1 2 设 ，若存在正整数 ，使 ， ，则称 是nPm10mA幂零指数为 的幂零矩阵，也称 是 幂零矩阵mA本文将把上述试题中蕴涵
5、的结论进行推广，给出一个一般性命题，该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质除此之外，本文还将对大学数学期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中，关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定；对数学研究与评论期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中，关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法，并且同时推广这个结论到任何的无限域；最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件，借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明更重要的是，它可以帮助我们发现，在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是
6、可以取消的本文用 表示数域， 表示 上的 阶矩阵的集合， 表示矩阵PnPnrank()A的秩， 表示单位矩阵， 表示 的伴随矩阵AEadjA2 几个引理关于幂零矩阵的一些常见性质，在许多文献中都有论述，本文仅罗列如下两个基本性质，以备后文中引用，对于它们的证明及其它性质，本文不再赘述引理1 2设 ， 是幂零矩阵 的特征值全为零nAPA引理2 2设 ， 是 幂零矩阵 的最小多项式m为 ()mf为了后面结论的证明，我们再建立几个引理： 4引理 3 设 阶矩阵 满足 ，则对使 的 维列向量 ，nA10,n10nA向量组 线性无关21,n证明 由引理知 ，则存在 维列向量 ，使 ，下面rak()n1n
7、证明向量组 线性无关：1,nA设 ，对该等式两边以 左乘之，得 ，120nkk 1nA10nkA故 ，再对等式 以 左乘之，得 ，021230nk 22故 ，同理可得 ，因此向量组 线性无2knk 1,n关引理 4 设 是 阶矩阵，并且满足 ， ，则 ，A0nA1nrak()iAi1,i2n证明 因为 ， ，所以 的最小多项式是 ，故 的0nA1nA()nndA不变因子为 ， ，故 的若当标准型为121()()ndd ()nndA0因此存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，这里 为 阶单位矩nP110nEA1n阵，经过计算得 231213110 0, , ,00nnnnEPAPPA 由此得 ， rak(
8、)ii,引理 5 设向量组 线性无关，向量组 如下定义：12n 12,n 51223331,1nnnk 则向量组 也线性无关12,n证明把向量等式写成矩阵形式 21121212(,)(,)nnnk 上式右端的上三角矩阵可逆，由 线性无关，即得 也线性12,n 12,n无关引理 62 如果 、 都是一个 矩阵，则 ABadj()j(ad)ABA引理 72 如果 是 矩阵( )，那么n2rnk(),rakdj1a10.A当当当引理 8 如果 是一个 矩阵， 时，则Anrnk()（1） ；12(,)nnab（2） 2Ak证明（1）因为 ，所以存在可逆矩阵 使得 ，ra()1A,PQ10A 6即 ，1
9、1 100(,)APQPQ若记 ， ，则 1210naP12(,0)(,)nb 12(,)nnaAb（2）由（1）所证，记 ，则1nika1 12221 12(,)(,)(),)nnni nnaAbbaba 12(,)nnakbkA引理 92 对任何 阶矩阵 ，有 ,Btr()0A3 几个注记3.1 幂零矩阵的一个命题n在本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题：定理 1 设 是 阶矩阵， 是 维非零列向量，如果 ， ，An1n0nA1n并且线性方程组 有解，则1x（）对任一 ，线性方程组 均有解；i1iAx（）记 的任一解为 ， ，那么 线性无1iAx1i,2n 1
10、2,n关 7证明 （）根据题设，线性方程组 有解，设 为它的一个解，1nAx即则对 ，由 ，知 是线性方程组1nA1in11()ini1ni的一个解；1ix（） 根据（）中的 ，由引理 3 得10nA线性无关221,nAA首先考虑线性方程组 的通解：由引理 4 知 ，由于1xrank()1是它的一个特解，而 是齐次线性方程组 的一个非零解，它构2n n 0Ax成 的一个基础解系，故线性方程组 的任一解 可表为形式0Ax 12122nnk再考虑线性方程组 的通解：由 ，由于 是它的1Axra()A3nA一个特解，而 是齐次线性方程组 的一个线性无关的解，它12,n 20x构成 的一个基础解系，故
11、线性方程组 的任一解 可表为形式20Ax 1312333nnnkAA类似的，有，1234444nnnnk，12,1nnn nkAA由于 线性无关，由引理 5 即得 也线性无关12,nA 2,n注 1根据定理 1 及证明，该类解答题的制作思路是：取，其中 为任意可逆矩阵，而 为矩阵 的所有0nEPP110EP列向量的线性组合，它们就可以保证定理 1 中的线性方程组有解，且线性无关12,n 83.2 幂零矩阵的伴随阵问题在数学研究与评论期刊 2000 年第 2 期发表了贾利新博士的“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一
12、文，该文证明了任何 幂零阵的伴随矩阵或者是 2-幂零阵，或者是零矩阵即下面的m定理 23 设 ，如果有正整数 使 ，则 nACm0A2(adj)0文献3在证明上述结论的过程中，是通过考虑矩阵 的若尔当标准形，利用极限过程的方法进行的，证明过程显得过于繁琐下面，我们将仅仅利用高等代数中的几个常见的基本结论（引理 6、引理 7、引理 8），对定理 2 予以简证：定理 2 的简证 由 ，知 ，且由引理 6，0mArank()A得 若(adj)0mA，由引理 7，得 ，即得 ，故 ；若rnk1rank(dj)adj2(adj)0，由引理 7，得 ，由引理 8，得 ，a() 1AAk从而有 ，即 ，根据
13、 ，知 ，1dj(adj)mAk1(aj)0mkrank(j)1aj必有 ，从而 ，因此 10k 2dj注 2 文献3中由于用到若尔当标准形及极限过程，自然要求矩阵 在复A数域上考虑，根据我们的证明知道，可以推广这个结论到任何的无限域注 3 在早期的不少文献中也证明了幂零矩阵的伴随矩阵是幂零的，如文4等其证明过于复杂，如果仅证明该结论的话，由前面的引理 6，可以导出公式 ，于是立得 结论adj()jmA0(adj)0mmA3.3 幂零矩阵的伴随还原阵问题在大学数学期刊2006年第5期发表了孙胜先的“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文，该文中提出了幂零矩阵的一个论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若
14、存在) 必不是幂零的”，我们将举出一个反例对该结论予以否定为讨论的方便起见，先给出伴随还原阵的定义及必要的一些说明：定义2 6 对于复数域上 阶方阵n 9，若有 阶方阵 满足 ， 称为 的一个伴随还原阵AnBadj()AB对于复数域上任一 阶方阵 ，根据引理7， 反之，n rank(dj),10A若 ，文献6 证明了必有 阶方阵 满足 ，即 一定rak(),10B存在伴随还原阵，但一般不唯一对任何 阶方阵 ，当 时，如果2，则 一定不存在任何伴随还原阵文献5中讨论了满足1rn()A与 的伴随还原阵问题，给出了下面的命题20ak1命题1 5 设 ， ， ，当 时， 不存在幂零nC20Arank()12nA的伴随还原阵.我们指出该结论不真，为此构造反例：反例取 阶方阵 ， ，可以验证：n010A
