《数学与应用数学毕业论文-关于和与积相等的矩阵对》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学毕业论文-关于和与积相等的矩阵对（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本科毕业论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 级 姓 名 王亚辉 论文题目 关于和与积相等的矩阵对 指导教师 张艳艳 职称 讲师 2014 年 5 月 3 日学号： 20105031305目 录摘 要 .1关键词 .1Abstract.1Keywords.10 前言 .11 引理及相关定理 .22 满足 的矩阵对的一些性质 .6AB3 主要结论及证明 .7参考文献 .121关于和与积相等的矩阵对姓名：王亚辉 学号：20105031305数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师：张艳艳 职称: 讲师摘 要：满足 的矩阵对之间有着密切联系.本文从矩阵的秩、
2、迹、非奇AB异性、特征值、对角化等方面，讨论了矩阵对的一些性质，并给出满足这种矩阵对条件下的一些特殊矩阵在迹与秩，行列式计算等方面的性质.关键词：特征值；秩；迹；矩阵对；Hermite 阵Matrix having equal sum and productAbstract：If matrix pair satisfies the condition , these two matrices have BA, ABsome connections. In this paper, we discusses some properties of the matrix from the rank ,
3、 trace, invertibility, eigenvalues, diagonalization, and give the nature of some special matrix which satisfies this matrix in trace and rank, the determinant calculation and so on .Keywords：Eigenvalue; Rank; Trace; Matrix pair; Hermite matrix0 前言矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，它们的特征值、秩、正定性等方面的关系问题,在理论上和实际应用中都很有意
4、义,例如 矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算、误差分析中有着重要的应用 , 因此对矩阵和与乘积的研究得到了许多学者的关注.对于两个 阶矩阵 , 的乘积,一般主要研究它们的可交换性 . 但事实上, 矩阵nABBA对 ,它们的和与积相等 . 这对矩阵在矩阵的秩、特征值和特征向量、正定性、非奇异性等方面都有一些很密切的联系.通过对此题目的探讨不仅可以加深对矩阵的进一步了解同时也将所学知识与实际结合，更加深刻认识特殊矩阵在实际中的重要应用.文中 表示 阶单位矩阵， 为矩阵 的秩， 表示矩阵 的转置， 为 阶nErATAnHHermite 矩阵， 为矩阵 的迹， 表示矩阵 的共轭转置， 和 分别t HUA
5、B为矩阵 和 的 Kronecker 积和 Hadamard 积.以下用 表示集合：ABM，即 阶矩阵对 符合条件 .,|,nC,AB2如矩阵 和 以及 和 都是符231521023101380合条件 的矩阵对.M1 引理及相关定理定义 设 且 ，若 ，有 ，则 为正定矩阵.7nARTAnXR00TAX定义 设 ，若 ，则称 为规范矩阵.2T引理 若 是正定矩阵，则 .71e引理 2 若 ， 是非奇异矩阵，则 是正定矩阵的充要条件是 是正nP TPA定矩阵.引理 是规范矩阵，若 ，则 是正定矩阵.73ARe0A引理 4 相似的矩阵有相同的特征值.引理 5 阶矩阵 ， 符合条件 的充分必要条件是
6、 和 互为逆矩阵；nBMAEB且若矩阵对 符合条件 ，则 及 , r证明 因为 AE.即 . AEBBABA又 和 互为逆矩阵，所以 ，故 .rrr引理 6 若矩阵对 符合条件 ，则存在 阶非奇异矩阵 和 ，使得,ABMnPQ.APBQ证明 由引理 1 显然得证.引理 （Hoffmanwieland 定理）设 ， ， ， 均为 实对称阵，37BCABCn它们的特征值分别为： ， ， ，则 ，12n 12n 12 A， 的特征值之间有如下关系成立：BC2211nniii引理 （Neumann 不等式）28设 ， 的特征值分别为 ， ，则ABnHAB3（1）11 1()n nini iiABtrA
7、B 设 ， 的奇异值分别为 ， ，则ABnH（2）1 1Ren nii iitrA 引理 设 是交换族，那么存在一个酉阵 ，使得对每个 ，109nMMUA是上三角的 .AUH定理 1 设 、 ， 是正定对称矩阵， ，则ABnRA11TTABB是正定矩阵的充要条件是 .Be0证明 若 是正定矩阵，由引理 2 知， 是正定矩阵,由引理 1 得12.反之，若 ，则由引理 4 得 .Re0BRe0AB因 11TTA故 12222因此， 是规范矩阵，由引理 3 知， 是正定矩阵.由引理 2 知 是正定12AB1ABAB矩阵.定理 2 若矩阵对 符合条件 ，则,ABM（1）矩阵 和 的特征值均不为 1；若
8、 是 的特征值，则 对应的特征 ， 和AB1A有公共的特征向量系；B（2） 可以对角化的充分必要条件是 可以对角化，即 ， 可以同时对角化；AB（3）若 有 个不同的特征值，存在一个次数不超过 的多项式 使得n 1nfx,f证明 （1）由引理 1， ， ，即 1 既不是 的特征值，也不是0EA0BA的特征值. 设 是矩阵 的特征向量，对应的特征值是 ,则 ，而 ,故B, ， ，所以 也是矩阵 的特征向量，ABA1B对应的特征值为 ；若 是矩阵 的特征向量，同理可证它也是 的特征向量,这1BA4说明 与 有公共的特征向量系.AB(2) 只证必要性.由 相似于对角矩阵,因而存在非奇异矩阵 ,使AP
9、, 为 的特征值,所以 令112,nPdiag i12,nPdiag则 , , 为 的特征向量,由(1) 知, 也是矩12,n ii12n ii阵 B 的特征向量,设 , 为 的特征值, ,则iiBiB1,于是 相似于对角矩阵.1112212, ,nnnPdiag B(3) 有 个不同的特征值,故 可对角化,由(2) 知 也可对角化. 令AA,取多项式 ,由于 互不相同,根据 Lagrange 插值定理可知,存12nCdiag fi在一个次数不超过 的多项式 ,使得 ,则 ,即有iif1nDfC,从而 ,定理 1 得证.111PBfAPfBA推论 设 , 为正定的 Hermite 阵，且满足条
10、件 ，则存在酉阵nCM，使得 和 同时为对角阵.nCH定理 3 若 , 都是数域 上满足条件 的矩阵，若 , 的特征值都在中，则BFMAB存在上非奇异矩阵 ，使得 及 都是上三角矩阵，即 ， 可同时上三角P1A1PB化.证明 对矩阵的阶数 用数学归纳法.当 时，结论显然，假定对 阶矩阵结nn1n论成立，因为 ， 满足条件 ，则 ，且 与 有公共的特征量 ，不妨ABAB， ，其中 ， 分别为 ， 的特征值，则存在 上的 阶非奇异矩阵 ，Fn2,nQ使得，110A110BQ其中向量 ， ， 都是 阶矩阵.显然 ，于是根据归纳假2,nF 1n1AB设，存在 上的 阶非奇异矩阵 ，使得 及 同时为上三角矩阵.R11R令 ，则10PQR11 100PAQARAR 为上三角阵.同理5也是上三角矩阵，定11 100PBQBRAR 理 2 得证.推论 1 设矩阵对 满足条件 ，若 是 Hermite 矩阵，则 也是 Hermite ,AMB矩阵，且存在 阶酉矩阵 ，使得 和 为对角矩阵.nUHUB证明 因为 是 阶 Hermite 矩阵，所以存在 阶酉矩阵 ，使得nnU，由定理 1 中（2）可知， 显然，*12,nUAdiag *12,ndiag也是 Hermite 矩阵，且可同时对角化，推论 1 得证.B推论 2 设 , 是满
