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1、RSA 加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA 在证书服务中离不了它。但是有不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。我们经过整理和改写特别推荐给大家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。RSA 是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA 以它的三个发明者 Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman 的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定 RSA 的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可
2、信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。RSA 的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100 到 200 位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题） 。 RSA 的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。别急，在没有正式讲解 RSA 加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：一、 什么是“素数”？素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和 1 的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，1535，所以 15
3、 不是素数；又如，126243，所以 12 也不是素数。另一方面，13 除了等于 131 以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以 13 是一个素数。素数也称为“质数” 。二、什么是“互质数” （或“互素数” ）？小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。 ”这里所说的“两个数”是指自然数。判别方法主要有以下几种（不限于此）：（1）两个质数一定是互质数。例如，2 与 7、13 与 19。（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3 与 10、5 与 26。（3）1 不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如 1 和 990
4、8。（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15 与 16。（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49 与 51。（6）大数是质数的两个数是互质数。如 97 与 88。（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7 和 16。（8）两个数都是合数（二数差又较大） ，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357 与 715，357=3 717，而 3、7 和 17 都不是 715 的约数，这两个数为互质数。等等。三、什么是模指数运算？ 指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数 m，以 n 为模做模运算，即 m mod n。怎样做呢？让 m 去被
5、 n 整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0 等等。 模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如好，现在开始正式讲解 RSA 加密算法。算法描述：（1）选择一对不同的、足够大的素数 p，q。（2）计算 n=pq。（3）计算 f(n)=(p-1)(q-1)，同时对 p, q 严加保密，不让任何人知道。（4）找一个与 f(n)互质的数 e，且 1ef(n)。（5）计算 d，使得 de1 mod f(n) 。这个公式也可以表达为 d e-1 mod f(n)这里要解释一下，是数论中表示同余的符号。公式中，符号的左边
6、必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，不管 f(n)取什么值，符号右边 1 mod f(n)的结果都等于 1；符号的左边 d 与 e的乘积做模运算后的结果也必须等于 1。这就需要计算出 d 的值，让这个同余等式能够成立。（6）公钥 KU=(e,n)，私钥 KR=(d,n)。（7）加密时，先将明文变换成 0 至 n-1 的一个整数 M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为 C，则加密过程为： 。（8）解密过程为： 。 实例描述：在这篇科普小文章里，不可能对 RSA 算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通过一个简单的例子来理解 RSA 的工作原理。为了便于
7、计算。在以下实例中只选取小数值的素数 p,q,以及 e，假设用户 A需要将明文“key”通过 RSA 加密后传递给用户 B，过程如下：（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。令 p=3，q=11，得出 n=pq=311=33；f(n)=(p-1)(q-1)=210=20；取 e=3， （3 与 20 互质）则 ed1 mod f(n)，即 3d1 mod 20。d 怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表：通过试算我们找到，当 d=7 时， ed1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令 d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)
8、，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33) 。（2）英文数字化。将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：则得到分组后的 key 的明文信息为：11，05，25。（3）明文加密 用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由 CMe(mod n)得：因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。（4）密文解密。用户 B 收到密文，若将其解密，只需要计算 ，即：用户 B 得到明文信息为：11， 05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key” 。 你看，它的原理就可以这么简单地解释！当然，实际运
9、用要比这复杂得多，由于 RSA 算法的公钥私钥的长度（模长度）要到 1024 位甚至2048 位才能保证安全，因此，p、q、e 的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。最后简单谈谈 RSA 的安全性首先，我们来探讨为什么 RSA 密码难于破解？ 在 RSA 密码应用中，公钥 KU 是被公开的，即 e 和 n 的数值可以被第三方窃听者得到。破解 RSA 密码的问题就是从已知的 e 和 n 的数值（n 等于 pq） ，想法求出 d 的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式：d e-1 (mod(p-1)(q-1)或 de1 (mod(p-1
10、)(q-1) 我们可以看出。密码破解的实质问题是：从 Pq 的数值，去求出 (p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出 p 和 q 的值，我们就能求出 d 的值而得到私钥。当 p 和 q 是一个大素数的时候，从它们的积 pq 去分解因子 p 和 q，这是一个公认的数学难题。比如当 pq 大到 1024 位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA 从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。然而，虽然 RSA 的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译 RSA 的难度与大数分解难度等价。即 RSA 的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。此外，RSA 的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用 RSA 只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。
