RC电路的暂态分析

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1、,2.3 RC电路的暂态分析,2.3.1 RC电路的零输入响应,R,C,uR,t=0,b,a,+-,i,S,uC,零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件的初始状态uC(0+) 所产生的响应。分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。,上图中，若开关S合于a，电容上电压充电到U0时，将S由a合向b， 即 uC(0)= U0,根据KVL uR + uC=0,R,C,t=0,b,a,+-,i,S,uc,uR,上式的通解为指数函数，即,通解 uC = Ae t /RC,2确定积分常数，由换路定则,uC(0+)=uC(0)= U0,，得 A= U0,所以 uC = U0e t /

2、RC,uR = uC = U0e t /RC,U0,U0,变化曲线,+-,1 求p 将其代入原方程，得： p = 1/RC,+,-,在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。,时间常数, = RC 称为RC电路的时间常数,时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。,uC() = 0.368 U0,0.368 U0,3 2 1,从理论上讲,电路只有经过 t = 的时间才能达到稳定。当t = 5 时，uC已衰减到 0.7% U0 ，所以，工程上通常认为在t (45) 以后，暂态过程已经结束。,电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数 ,时间常数越大，

3、uC衰减(电容器放电)越慢。,例：下图所示电路中，开关S合在a点时,电路已处于稳态，t=0开关S由a点合向b点，试求: t0 时 uc、 i1 、 i2 和 i3 随时间的变化规律,画出变化曲线。,C,t=0,b,a,+-,S,uC,4,2,4,8,10F,+-,10V,i1,i2,i3,解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V,U0=4V,R0=(4/4+8)=10, = R0 C=10 10 106=104 S,4e 10000t V,i1 = i3 = i2 / 2,C,b,4,4,8,i1,i2,i3,= 0.4e 10000tA,= 0.2e 10000

4、tA,o,t,i,u,2.3.2 RC电路的零状态响应,零状态响应是指换路前电容元件未储有能量, uC(0)=0,由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。,下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一阶跃电压u，其表示式为,u=,0 t0,R,C,uR,t 0,b,a,+-,i,S,uC,u,根据KVL，列出t 0时电路的微分方程,uR +uC =US,它的通解为齐次线性方程的通解加上它的任意一个特解。,uC=Ae pt任一特解,1 求p 将其代入原方程得 p = 1/RC,+-,特解选择换路后的稳定值US,uC=Ae ptUS,2确定积分常

5、数，由换路定则uC(0+)= uC(0)=0，可确定积分常数 A= US,uC =US US e t /RC =US(1et /),时间常数 =RC,当 t = 时， uC =63.2%US,t,u,O,uC的变化曲线,o,t,US,u,i,uC =US(1e t / ),uC 、 uR及i 的变化曲线,可认为t (45) 以后暂态过程已经结束。,上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维宁定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维宁等效电源，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。,例：下图所示电路中，已知：R1=3k， R2

6、=6k ， C1= 40 F， C2= C3= 20 F ，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求: t 0 时的电压 uC 。,解： C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为,将t 0的电路除C以外的部分化为戴维宁等效电源,等效电源的内阻为,等效电源的电动势为,由等效电路可得出电路的时间常数, = R0 C=2 103 20 106 =40 103S,uC=E(1 e -t/ ),=8(1e 25t )V,输出电压为,2.3.3 RC电路的全响应,全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。,下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则 uC(0)= U0 ， t=0时将S由b合向a， t 0时电路的微分方程为,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+-,U0,uC = U0 e -t/ + US(1e -t/),全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,+-,根据线性电路的叠加定理，可得全响应为,=,