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1、- 1 -2014 高考数学模块跟踪训练：数列 4一、选择题(8540 分)1若数列 an的通项公式为 an2 n2 n1，则数列 an的前 n 项和为 ()A2 n n21 B2 n1 n21C2 n1 n22 D2 n n2答案：C解析： Sn 2 n1 2 n2.2(1 2n)1 2 n(1 2n 1)22数列 1， ， ， 的前 n 项和为 ，则正整数 n 的值为11 2 11 2 3 11 2 3 n 95()A6 B8 C9 D10答案：C解析：由题意得 an ，则 Sn2( )2(1 ) ，2n(n 1) 11 12 12 13 1n 1n 1 1n 1 95则 n9，故选 C.
2、3数列 1,12,124，122 22 n1 ，的前 n 项和 Sn1020，那么 n的最小值是 ()A7 B8 C9 D10答案：D解析：122 22 n1 2 n1，1 2n1 2 Sn(22 22 n) n n2 n1 2 n.2 2n 11 2若 Sn1020，则 2n1 2 n1020， n10.4设数列 xn满足 lnxn1 1ln xn，且 x1 x2 x3 x1010.则x21 x22 x23 x30的值为()A11e 20 B11e 21 C10e 21 D10e 20答案：D解析：由 lnxn1 1ln xn得， xn1 e xn，数列 xn是等比数列，公比为e， x21
3、x22 x23 x30( x1 x2 x3 x10)e2010e 20，故选 D.总结评述：由于数列是一类特殊的函数，因此在具体问题中应当注意用函数的观点看待相关的数列，进而将问题解决如本题中，由已知条件可知数列ln xn是等差数列，从而先求得数列ln xn的通项公式，进而将问题解决(在具体计算时注意从整体的角度来思考问题)5(教材改编题)14916(1) n1 n2等于 ()A. Bn(n 1)2 n(n 1)2C(1) n1 D以上答案均不对n(n 1)2答案：C解析：当 n 为偶数时，14916(1) n1 n237(2 n1) ；n2(3 2n 1)2 n(n 1)2当 n 为奇数时，
4、14916(1) n1 n2372( n1)1 n2- 2 - n2n 12 3 2(n 1) 12 n(n 1)2综上可得，14916(1) n1 n2(1) n1 .n(n 1)26给出集合序列1，2,3，4,5,6，7,8,9,10，设 Sn是第 n 个集合中元素之和，则 S21为 ()A1113 B4641C5082 D5336答案：B解析：方法一：前 n 个集合共用去 123 n 个连续的自然数，故第 n1 个集合中第 1 个元素为 1，共有 n1 个， S21中第 1 个数为 1211.n(n 1)2 20212最后一个数为 21120231，故 S21 4641.21(211 2
5、31)2方法二：记 Tn123 n .n(n 1)2则 Sn T Tn(n 1)2 n(n 1)2本题即 S21 T T T231 T210 4641.21222 20212 231(231 1)2 210(210 1)27(2009黄冈综合测试) an为等差数列，若 0， 0，| a11|a10|，S20 10( a10 a11)0，20(a1 a20)2 n20.故选 C.8如下图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列前 n 项的和为 S(n)，则 S(16)等于()A128 B144 C155 D164答案：D解析：
6、 S(16)( C C )( C C )( C C )( C C C )2 12 23 13 29 19 12 13 19( C C C )44 C 164，故选 D.2 23 29 310二、填空题(4520 分)9在正项等比数列 an中， a3a74，则数列log 2an的前 9 项之和为_- 3 -答案：9解析：因为 a3a74，所以 a 4 a52.25则 S9log 2a1log 2a2log 2a3log 2a9log 2a1a2a3a9log 2a 9log 229.9510已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n1，则 a a a _.21 2 2n答案： (4n1)13解析：
7、当 n1 时， a1 S11，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1(2 n1 1)2 n1 ，又 a11 适合上式 an2 n1 ，( nN *) a 4 n1 .2n数列 a 是以 a 1 为首项，以 4 为公比的等比数列2n 21 a a a (4n1)21 2 2n1 4n 141 4 1311(热点预测题)设函数 f(x) xm ax 的导数为 f( x)2 x1，则数列 (nN *)1f(n)的前 n 项和为_答案：nn 1解析： f( x) mxm1 a2 x1， a1， m2. f(x) x(x1)，则 ，1f(x) 1x(x 1) 1x 1x 1即 ，1f(n) 1n
8、nn 1可求得 Sn .nn 112(2009北京西城)对于一切实数，令 x为不大于 x 的最大整数，则函数 f(x) x称为高斯函数或取整函数计算 f(0.3) f(1) f(1.3)_；若 an f( )， nN *， Sn为数列 an的前 n 项和，则 S30_.n3答案：1145解析： f(0.3) f(1) f(1.3)1111.S30 f( ) f( ) f( )(001)(112)(223)(9910)13 23 303(1239)2(1210) 92 109055145.1 92 1 102三、解答题(41040 分)13求下面数列的前 n 项和11， 4， 7， 3 n2，1
9、a 1a2 1an 1解析：前 n 项和为Sn(11)( 4)( 7)( 3 n2)1a 1a2 1an 1(1 )147(3 n2)，1a 1a2 1an 1设 S11 ，1a 1a2 1an 1- 4 -当 a1 时， S1 n；当 a1 时， S1 ，an 1an an 1S2147(3 n2) .(3n 1)n2当 a1 时， Sn S1 S2 n ；(3n 1)n2 (3n 1)n2当 a1 时， Sn S1 S2 .an 1an an 1 (3n 1)n2反思归纳：当所给数列既不是等差数列，也不是等比数列求和时，应仔细观察式子的结构特点、分组转化常见数列或等差、等比数列再求和14将
10、数列( )n1 按如下分组：(1)，( ， )，( ， ， )，( ， ， ， )，12 12 14 18 116 132 164 1128 1256 1512问：(1)第一组到第 k 组共有几个数？(2)第 k 组中的首数和尾数各是什么？(3)求第 k 组各数之和及前 k 组各数之和解析：(1)第 k 组中有 k 个数，第一组到第 k 组共有：12 k 个k(k 1)2数(2)第 k 组的第一个数是( ) ，最后一个数是( ) 1.12k(k 1)2 12k(k 1)2(3)第 k 组中各数之和为：Sk(f(1,2)k(k 1)2 1 (f(1,2)k1 122( ) 1( )k；12k(k
11、 1)2 12前 k 组各数之和为：S 总 21( ) 1 (f(1,2)k(k 1)21 12 12k(k 1)215等差数列 an的各项均为正整数， a13，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn中， b11，且 b2S264， ban是公比为 64 的等比数列(1)求 an与 bn；(2)证明： .1S1 1S2 1Sn34解析：(1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 d 为正整数，有 an3( n1)d， bn qn1 ，依题意有Error!，由(6 d)q64 和 q 为正有理数，又由 q2 知， d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一，6d解得 d2， q8，故 an3
12、2( n1)2 n1， bn8 n1 .(2)由(1)知 Sn35(2 n1) n(n2)，所以 (1 1S1 1S2 1Sn 113 124 135 1n(n 2) 12 13 12 14 13 15 1n- 5 -) (1 ) .1n 2 12 12 1n 1 1n 2 3416已知数列 an满足 a1 ， Sn是 an的前 n 项和，点(2 Sn an， Sn1 )在 f(x) x76 12的图象上13(1)求数列 an的通项公式；(2)若 cn( an )n， Tn为 cn的前 n 项和， nN *，求 Tn.23解析：(1)点(2 Sn an， Sn1 )在 f(x) x 的图象上，12 13 Sn1 (2Sn an) .12 13 an1 an ， an1 (an )，12 13 23 12 23数列 an 是以 a1 为首项，以 为公比的等比数列，23 23 76 23 12 12 an ( )n1 ，即 an .23 12 12 23 12n(2) cn( an )n ，23 n2n Tn 2 3 ，12 122 123 n2n Tn 2 3 ，12 122 123 124 n2n 1得 Tn ，12 12 122 123 124 12n n2n 1 Tn2 .12n 1 n2n
