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1、题 目： Jensen 不等式的推广院（系）专业： 数学系（数学与应用数学）学生姓名： 冯德文 学 号： 2003701107 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2012 年 6 月 本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ）红河学院本科毕业论文(设计)I摘 要凸函数是一种性质特殊的函数，而凸函数的 Jensen 不等式是一个很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函数的构造也有其妙处。为使其更广泛应用于不等式的证明，本文利用凸函数的性质对 Jensen 不等式进行了推广，得到几个重要的积分不等式并进行了证明。关键词：凸函数 ； 积分红河学院本科毕业论文(设计)IIAbstractT
2、he convex function is one function with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequality. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures
3、also have their advantages, In order to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them.Key word：Convex Function；Integral红河学院本科毕业论文(设计)目 录绪
4、论 11 预备知识 21.1 凸函数 21.2 Jensen 不等式 22 Jensen 不等式的推广 42.1 积分型 Jensen 不等式 42.2 其它积分不等式 52.3 应用 8结论 10感谢信 11参考文献 12绪论1绪 论不等式是研究分析数学的重要工具，在高等数学中我们要用到各种形式的不等式。本文主要利用凸函数的定义及性质去证明不等式。其关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。本文内容安排如下：第一章 预备知识。先介绍凸函数的定义及充要条件，再给出凸函数的Jensen 不等式及其证明。第二章 Jensen 不等式的推广。先利用凸
5、函数的定义及性质把前一章给出的Jensen 不等式推广到积分形式，并给出证明。再由前章给出的知识以及积分型的 Jensen 不等式推出几个重要积分不等式并进行证明。最后给出两个例子介绍它们的应用。1 预备知识21 预备知识1.1 凸函数定义 设 为定义在区间 上的函数，若对 上的任意两点 和任意实数fII21,x总有1,02121 xfxfxf 则称 为 上的凸函数。反之，如果总有fI2121 xfxfxf则称 为 上的凹函数。fI定理 1 设 为 上的可导函数，则 为 上的凸函数的充要条件是fIfI， 或 对 上的任意两点 ，有 0xfI21,x12ffxf 1.2 Jensen 不等式定理
6、 2 (Jensen 不等式) 为区间 上的凸函数，则对任意 ，fba, baxi,且 ，有0in,3,11i(1-1)iiniixfxf111 预备知识3再把上式两端分别相加，得 niininiini xfxfxff 1010101 由 及 ，上式变为1ni inix10 ininiini xxfff 11001 = 0f= niixf1即 ininiixfxf11注：当 时，有 ，则(1-1)式变为ni 1ni(1-2) nxffxfxf n 2121结论92 Jensen 不等式的推广2.1 积分型 Jensen 不等式命题 1 若 在区间 上连续， 处处 2 阶可导且 ，则有 xa,0
7、f0tf(2-1)dfdfaa001证法：把区间 等分， ，把 代入(1-2)式，有,nnaxkkkxtffkkk11即 nxfnxfkknk11afaafkkk11knknkkxfxf 11因为 ， 在 上连续，当 时，有xtfa,0dxxaknk01limffaknk01li所以 dxfadxaf0012.2 其它积分不等式命题 2 若 在 连续， ，则xfb,0xf(2-3)baba dfdf1lnl1结论9证明：设 ， ，则 ，所以 为凸函数。yglnxf 012ygyln由命题 1 可得 dxfabdxfabln1l即 ffbaal1ln所以 dxfbdxfbaaln1l注：命题 2
8、 为命题 1 的一般形式，相当于命题一中的 。因为tfln为凹函数，所以符号相反。tln命题 3 若 在区间 连续且 ，则xfba,0xf(2-4)21dffbaba 证法一：设 ， ，则 。因为 ，所以ygxf32yg0xf，即 为凸函数。根据命题 1 有0ygdxfabdxfabdxfab 1即 21xfdfbaba结论得证。 注：命题 3 由命题 1 所得，相当于 。tf1证法二：把 等分，分点为 。ba,n,abnixi.,210ni abxi因为算术平均值大于调和平均值，所以有iinii xfaxf 11结论9niixfab1= niiabxf12由 有,0xf211 abnxfna
9、bxfiinii 令 ，取极限得n2dxffbaba结论得证。命题 5 设 在 连续，且 则有xfb,0fbadxf1 dxfabdxfab1ln1ep证：因为函数 为凸函数，由 Jensen 不等式有 tydxfabdxfablnep1ln1exp= 。f bababa dxfdxfdxf 1lnep1lnep1bafle= badxfln1xp结论9综上可得 badxf1dxfabdxfab1ln1ep注：上式为均值不等式。2.3 应用例 1 证明 。20ln1aeaxd证：令 因为 且 的连续性，所以由tftl,0tefxlnJensen 不等式有dxaexda0lnln10= 0= 2
10、1a= 。结论9结 论凸函数是一个传统研究课程，具有广泛的实际背景和应用价值。对凸函数性质的探讨是一个重要的研究方向。本文凸函数 Jensen 不等式的应用仅仅是限于一元函数而言，可将其推广到多元函数，将空间扩充到凸集的范围，这些类似定理和结论以及相关应用有待一步研究。红河学院本科毕业论文(设计)10感谢信在毕业论文完成之际,向给予我帮助和指导的各位老师和同学表示衷心的感谢!首先,我要感谢我的论文导师杨慧章老师,因为有她耐心的指导、鼓励和帮助我才顺利完成我的毕业论文。借此机会我向数学系老师表示衷心的感谢,感谢他们四年来的精心指导和培养。红河学院本科毕业论文(设计)11参考文献1林玎,刘伟.Jensen 不等式的几个推论及其应用J.吉林师范大学学报,2003,8(3)：28-232刘飞燕.Jensen 不等式及其应用J.云南民族大学学报,2003,7(3)：148-1513徐伟.积分形 Jensen 不等式的巧用J.高等数学研究,2002,6(4)：15-164陈欣.关于 Jensen 不等式的应用J.武汉工业学院学报,2005,9(3)：113-1155刘鸿雁.由 Jensen 不等式导出某些重要不等式 J.成都大学学报 ,2003,12(4)：32-356尚亚东,游淑军.凸函数及其在不等式证明中的应用J.广州大学学报,2005,2(1):1-6.
