《小学六年级奥数系列讲座：不定方程与整数分拆（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学六年级奥数系列讲座：不定方程与整数分拆（含答案解析）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、该资料由【语文公社】，与此相关或涉及整数分拆的数论问题补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级第 15 讲 余数问题 个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解本讲讲解顺序： 包括 1、2、3 题 包括 4、5 题 包括 6、7 题，其中步骤中加入百鸡问题复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程整数分拆问题：11、12、13、14、151在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是 4 的数有多少个?【分析与解】 设这个两位数为 ，则数字和为 ，这个数可以表达为有104即 ，亦即 4a2注意到 和
2、 都是 0 到 9 的整数，且 不能为 0，因此 只能为 1、2、3 或 4，相应地、4、6、8综上分析，满足题目条件的两位数共有 4 个，它们是 12、24、36 和 482设 A 和 B 都是自然数，并且满足 ,那么 A+B 等于多少? 173【分析与解】 将等式两边通分，有 3A+7,显然有 B=l，A=2 时满足，此时A+B=2+1=3 3甲级铅笔 7 分钱一支，乙级铅笔 3 分钱一支张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同该资料由【语文公社】【分析与解】设购买甲级铅笔 支，乙级铅笔 支 +3 =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性系数与常数对 3 取模(系数
3、 7，3 中，3 最小)：得 =2()，所以 可以取 2，此时 取 12； 还可以取 2+3=5，此时 取 5； ,对应 为 14、10215y所以张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共 14 支或 10 支4有纸币 60 张，其中 1 分、l 角、1 元和 10 元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是 100 元?【分析与解】 设 1 分、1 角、1 元和 10 元纸币分别有 a 张、b 张、c 张和 d 张，列方程如下：由 6002(2)(1)得 994 注意到式左边是 9 的倍数，而右边不是 9 的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为 100 元74 厘米的合金铝
4、管截成若干根 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是 12 的倍数，但 374 被 12 除余 2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于 2 厘米另一方面，374=2712+412+2，而 3612=3，2412=2，有 39+22=31即可截成9 根 36 厘米的短管与 2 根 24 厘米的短管，剩余 2 厘米因此剩余部分的管子最少是 2 厘米6某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种
5、 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种该资料由【语文公社】那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工 人，孩子 人，则女职工 3 - 人(注意，为何设孩子数为 人，)，那么有 =216，化简为 =216，即 =721306y612y有 但是，女职工人数为 必须是自然数，所以只有 时， 满足y1253那么男职工数只能为 12 名7一居民要装修房屋，买来长 和 的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：，么在 、这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设 ，两种木条分别 ， 根，则 即 7
6、 +8 =34，36，37，38，39数对 7 取模，有 6，l，2，3，4()，于是 最小分别取 6,1,，4但是当 取 6 时，86=48 超过 34， 无法取值是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封角，她共用了 1元 2 角 2 分那么小萌寄的这 3 种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使 3 种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 所以，2 分，10 +2 分应该为平信的邮费， 最小取 3，才是 8 的倍数，所以平信至 封，此时剩下的邮费
7、为 1220，所以再寄 4 封挂号信，航空信 1 封即可 于是，小萌寄的这 3 种信的总和最少是 4+1+4=9 封该资料由【语文公社】，第一堆中每个砝码重 3 克，第二堆中每个砝码重 5 克，第三堆中每个砝码重 7 克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130 克那么共需要多少个砝码?其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取 7 克的砝码1307：184，所以 3 克、5 克的砝码应组合为 4 克，或 4+7 克重 克的砝码 个，5 克的砝码 个，则 当 =0 时，有 ，无自然数解；k当 =1 时，有 ，有 =2， =1，此时 7
8、 克的砝码取 17 个，所以共1+1+17=21 个砝码，有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个当 1 时，7 克的砝码取得较少，而 3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取以共需 2+1+17=20 个砝码，有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个105 种商品的价格如表 81，其中的单位是元现用 60 元钱恰好买了 10 件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设 B、C、D、E、A 商品依次买了 b、c、d、e、(10，则有=60=310，显然 只能取 0，1，284310e 有 =310，其中 d 可取 0，1， 2，3，4(1)当 d=0 时，
9、有 =310，将系数，常数对 6 取模得：843(6)，于是 最小取 4，那么有 18b=310=138，b 不为自然以 d=0 时。不满足；(2) 有 =233，将系数，常数对 6 取模得：15(6),于是 最小 ,那么有 18b=233=18,文公社】；(3) 有 =156，将系数，常数对 6 取模得：1843O()，于是 最小取 0，那么有 18b=156，b 不为自然数，所以 d=2满足；(4) 有 =79，将系数、常数对 6 取模得：c1()，于是 最小 那么有 18b=7943=36c(5)当 d=4 时，有 =2，显然不满足1843b 有 =190，其中 d 可以取 0、1、27
10、c(1) 有 =190，将系数、常数对 6 取模有：4()，于是 最小 那么有 18b=190=18 ,c(2)当 d=1 时，有 =113，将系数、常数对 6 取模有：18435()，于是 最小取 5，即 18 +215=113，显然 d=1 时，不满足；b(3)有 =36,显然有 时1843有 =70， 只能取 0，770，将系数、常数对 6 取模有：1843()，于是 最小取 4，那么有 18 +172=70，显然不满足有 4 种不同的选购方法11有 43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上该资料由【语文公社】画片只有两种：3 分一张和 5 分一张
11、每 11 人都尽量多买 5 分一张的画片问他们所买的 3 分画片的总数是多少张? 【分析与解】 钱数除以 5 余 0，1，2，3，4 的人，分别买 0，2，4，1，3 张 3 分的画片因此，可将钱数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组，每连续 5 个在一组，每组买 3 分画片 0+2+4+1+3=10 张，9 组共买 109=90 张，去掉 5 角 1 分钱中买的 2 张 3 分画片，5 角 2分中买的 4 张 3 分画片，43 个人买的 3 分画片的总数是 904 张 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和 ”试将 168 表示成两个两位质数的和，
12、并且其中的一个数的个位数字是 1【分析与解】 个位数字是 1 的两位质数有 11，31，41，61，71其中 16857，16837，16827，16807，都不是两位数，只有1687 是两位数，而且是质数，所以 168=71+97 是惟一解13(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解】 (1)首先确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然 10 个互不相等的质数和最小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然
13、大于 50所以，其中一定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为 2，且最多可有9 个 2，那么最大质数不超过 5029=32，而不超过 32 的最大质数为 31又有 ，所以满足条件的最大质数为 31825031个(2)最大的质数必大于 5，否则 10 个质数的之和将不大于 50所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7607=84， ，而 4=2+2，恰好有 即86=+4个 860=+2+个8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 714有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的 1 分到 1 元之间的币值有该资料由【语文公社】【分析与解】 注意到所有 38 枚硬币的总币值恰好是 100 分(即 1 元)，于是除了 50 分和100 分外，其他 98 种币值就可以两两配对了，即(1，99)；(2，98)；(3，97)
