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1、饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)1函数的性质(1)一. 单调性1)定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。2)判定方法有：a.定义法（作差比较和作商比较）b.导数法（适用于多项式函数）c.复合函数法和图像法。3).应用：比较大小，证明不等式，解不等式。二.奇偶性1)定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。2)判别方法：定义法，图像法，复合函数法3)应用：把函数值进行转化求解。三.周期性1)定义：若函数 f(x
2、)对定义域内的任意 x 满足：f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。其他：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+a)=f(xa),则 2a 为函数 f(x)的周期.2)应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。练习:1.下列函数中，在区间 上是增函数的是（ B ）(,0)A B C D 842xy)(log21xy12xyxy12函数 的递减区间为 ( B )21log(3)饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)2A.（1，+ ） B.（ ， C.（ ，+ ） D.（ ， 4321213.若函数 12)(xf，则该函数在 ),(上是 （ A ）A单调
3、递减；无最小值 B单调递减；有最小值C单调递增；无最大值 D单调递增；有最大值4.已知函数 0,4)(2xxf若 2()(,faf则实数 a的取值范围是 ( C )A (,1)(,) B (1,) C (,1) D (,2)1,【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知 )(xf在 R上是增函数，由题得 a2，解得 a，故选择C。5.已知 512a，函数 ()xfa，若实数 m、 n满足 ()ffn，则 m、 的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。 51(0,)2a，函数 ()xfa在 R 上递减。由 ()ffn得：m1 或 x-1.f(x
4、)的单调增区间是-1，1，单调减区间是（-，-1 ， ，）.【点评：】 （1）判断或证明函数的单调性常用的思路主要有：用函数单调性的定义；求导数，在判断导函数在所要求讨论的区间上的符号；利用复合函数的单调性等。（2）利用定义时，要注意 1- 的正负判断。1- 形式的判断，一般设 = ，再令1x21x2 1x2=0 得 =1，从而找到分界点。1x18定 义 在 上 的 函 数 为 减 函 数 ， 求 满 足 不 等 式 的 的 值 的 集 合 。4,)(xf 2()(4)0fafa ， )21(af02f )21(af2f又 定义在 上的减函数，x,1 即24a301a10a所以，满足题意的 取
5、值的集合为 a0|a【点评：】这是抽象函数的单调性问题，首先应该注意函数的定义域不能扩大或缩小，再是通过合理变形，根据单调性，脱去“f” ，得到具体的数学式，然后进行求解或论证。9.已知函数 ,10(,2)(xaxf（1）若 是增函数，求 a 的取值范围;（2）求 上的最大值.1,0在 1,0()(在 区 间xf解：（1） 即恒 成 立对命 题 等 价 于 ,0)(,)(3 xfxf饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)4;1,0() ,0)(,10(,)1(2),)( ,(,13max33也 是 增 函 数在 时当时而 当 为 增 函 数在而f xfxfgxa综上， a 的取值
6、范围是 .a（2） ;12)()(,1,0(), max ffxf为 增 函 数在时当 当 ,01,2)(,1 333 afa得令时综上所述： max1,()(1)2;aff当 时 32ax3, .ffa当 时【点评】利用导数研究函数的单调性，要注意导函数的正负情况，求函数的最值，给出函数极大（小）值的条件，一定既要考虑 =0，又要考虑检验“左正右负” （”左()fx负右正” ）的转化，否则条件没有用完，这一点要注意。10判断下列函数的奇偶性： 1()(0162();()0xxnxf f x22(3)(1)fxogx（1 ）函数定义域为 R，)(216412616)( xff xxxxx f(
7、x) 为偶函数；332ax31() , .fxff且 的 值 在 处 左 正 右 负当 时饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)5（另解）先化简： ，显然 为偶函数；14146)( xxf )(xf从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2 ）须要分两段讨论：设 );(1(1)1(),0, xfxnxnxnfx 设 当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f (x)=f (x)；由、知，对 xR 有 f (x) =f (x)， f (x)为奇函数；（3 ） ，函数的定义域为 ，101221f(x)=log 21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（1 ，0）与 B（1
8、，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x )既是奇函数，又是偶函数；11.函数 是 ( D )A奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数12.已知 是偶函数，定义域为 .则 _ _， 02()3fxab1,2a13b13.若 1x是奇函数，则 a 解析 解法 1 2(),()(21xxf ffx211()2x xxaaa 故14.设函数 )fy是奇函数. 若 3)(3)(2fff ,则 )2(f .-3 15.已知函数 (x是定义在 ),(上的偶函数. 当 0,x时，4)(xf，则当 ,0时， (xf -x-x4.16.已知函数 ()fx为 R上的奇函
9、数，当 0时， ()1)f.若 ()2fa，则实数a. 117.若函数 2()()af，则下列结论正确的是（ ）饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)6A. aR， )fx在 0,)上是增函数 B. aR， ()fx在 0,)上是减函数C.， 是偶函数 D.， ()fx是奇函数18 已知偶函数 ()f在区间 ,)单调增加，则满足 (21)f (3f的 x 取值范围是( A )（A） （ 13， 2） B. 13， 2） C.（ ， 3） D. ， 2）19.已知函数 ()fx是 ,)上的偶函数，若对于 0x，都有 ()fxf） ，且当0,2x时， 2log(1） ，则 (28)(
10、9)ff的值为（ C ）A B C 1 D 220.已知定义域为 R 的函数 xf在区间 ,上为减函数，且函数 8xfy为偶函数，则 （ D ）A. 76f B. 96f C. 97f D. 107f21.函数 x对于任意实数 x满足条件 12fxf，若 5,f则5f_ - 51_。22.定义在 R上的函数 xf是奇函数又是以 为周期的周期函数,则741f等于 ( B )A.-1 B.0 C.1 D.423.设 f(x)是定义在 R 上的函数，且在(-，+)上是增函数，又 F(x)=f(x)-f(-x)，那么 F(x)一定是 ( A )A.奇函数，且在(-，+)上是增函数 B.奇函数，且在(-
11、，+)上是减函数C.偶函数，且在(-，+)上是增函数 D.偶函数，且在(-，+)上是减函数 24.已知函数 ()fx,g在 R 上有定义，对任意的 ,xyR有()fyyxf且 (1)0f（1）求证： ()f为奇函数饶平二中 2010 年高考数学科复习资料(函数 2)7（2）若 1)2f， 求 (1)g的值解（1）对 xR，令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x) 4 分（2）f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1)f(2)=f(1)0g(-1)+g(1)=1 8 分
