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1、青岛大学本科生毕业论文（设计）1引言 数学本身是一个历史概念，是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它是空间关系的浓缩，是时间关系的结合，是科学发展的桥梁，是人类解开愚昧、走向文明的使者。同时，数学又是神奇的、迷人的。正是它的神奇和迷人使人们在追求真理的同时得到了美的享受，得到了游戏的乐趣。而在我们现实生活中，有人认为数学家们在从事教学研究时不是戏趣的，而是严谨和认真地对科学的探索，没有游戏的行为；也有人认为，游戏对数学至多起激发兴趣和调节情绪的作用，没有什么大不了的。事实上，数学与游戏之间有非常密切的联系。无论从数学知识本身，还是数学活动过程，如从事数学活动的人们的动机、方法等都可以发现
2、游戏因素。 就数学知识本身来说，在传统数学领域和现代数学领域中都可以发现大量赏心悦目的具有游戏性质的内容和问题。在算术中，毕达哥拉斯学派对于完全数和亲和数等奇偶性的研究就具有数学游戏的性质。在代数中，三次方程早已出现在公元前 19001600 年巴比伦的泥板书中，当时根本没有实际问题导致三次方程的产生，显然古巴比伦人把这个问题当作消遣从而促使代数学的进一步发展。几何学中的游戏趣题更是举不胜数，如勾股定理所编制的大量趣题，古希腊人研究角的三等分、灯高的测量等。许多近代数学也带有游戏情调。例如，16 世纪以来，在微积分中人们对大量奇形怪状曲线的研究明显带有娱乐性质。在近世代数中也存在大量带有娱乐色
3、彩的趣题。 历史上，数学游戏还激发了许多重要数学思想的产生。许多数学思想起源于人们对一些令人迷惑不解问题不断的探索，这些问题往往从表面上看来不过是供人消遣的游戏而已，甚至看来与数学的情境毫无关系，然而问题的解决却产生了令人意想不到的新的数学思想。概率论直接起源于一个关于赌徒的游戏。17 世纪，法国一个法国名为德梅勒的职业赌徒针对赌博中常常遇到“怎样合理分配赌注”的问题，向著名数学家帕斯卡请教，这个问题常常被称为“点子问题” ，即两个赌徒中谁先积满一定数目的点谁就赢得第一局；如果在一局结束以前离开赌场，他们应该如何分配赌注帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题，对于这个问题的解决和研究标志着不同
4、于以往确定性数学的一种崭新的概率论的诞生，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律性置于规律、秩序和规则下，从而有在人类数学史上写下了光辉的一笔。图论也是一门起源于游戏的科学，它主要起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。当时大多数人都把这个问题当作有趣的娱乐，后来欧拉证明这个问题没有解，并指出这个问题不适用于欧几里得几何。而相反地，这青岛大学本科生毕业论文（设计）2个问题属于位置几何（莱布尼茨首先使用的名称） 。因此，哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它娱乐的价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个新的领域图论。 游戏娱乐在数学的发展史上也起到了重要作用。很多著名的数学游戏成了数学发展的催化剂和导引。这
5、些问题推动人们去思考、探索，同时也对数学知识的普及和传播有不可替代的作用，不断把数学推向前进。数学游戏在不断满足人们好奇心一求知欲的同时，极大促进了数学的法展；数学的发展，又造成了更多趣味问题和数学知识等方面的疑难，导致人们更是不断地在好奇心和游戏乐趣的驱使下去解决这些难题。总之，数学中包含游戏的本质，游戏中则有数学思想，两者是密不可分的。 青岛大学本科生毕业论文（设计）3第一章 数学游戏对教育教学的影响数学游戏对数学教学的作用近年来，我国对中学教学进行了改革，提倡以学生为主体的开放式教学。教师必须善于在课堂中激发起学生学习的兴趣，采取自由、灵活的教学方法。要是数学教学能更好的进行和发展，笔者
6、认为关键是要激发学生学习的兴趣，是学生在数学的学习过程中体会“妙趣横生、其乐无穷”的精髓。而数学游戏明显带有自由、娱乐、奇妙、生动形象等特点，加上中小学生爱玩游戏的天性，数学游戏对数学教学的作用是很明显的，对学生的综合素质的提高也有重要作用，数学游戏还能真正体现以学生为主体的教学方法. 1.1 数学游戏有利于唤起学生对数学学习的兴趣 俗话说“教之者不如好之者，好之者不如乐之者” 。只有学生有了浓厚的学习兴趣，才有可能学好数学。围绕数学的教学游戏能吸引学生的注意力，唤起他们对问题的兴趣。如在学习立体几何前，我们可以给学生这么一道思考题：有 6 根完全相同的金属棒，我们把他们拼凑成图形其中 3 根
7、金属棒，使其成为的图形有 4 个三角形，移动原图形中一个等边三角形的三边，然后做成一个正四面体。给出答案后，就可以引出立体几何的学习了，这样不仅能激发学生学习的求知欲，还能给学生一个立体和平面有关系的初步印象，有利于以后的教学工作。1.2 游戏教学有利于培养学生观察力和记忆力 我们在以学生为主体的教学中，要使学生的综合素质得到提高，学生的观察能力和记忆能力起重要作用。根据小学生生理和心理特点，他们好动、贪玩，在玩耍中能观察到很多东西，也能记住很多新鲜事，比如现在的学生能很快说出某某明星的名字、身高等，但他们就是不能对书本的东西记忆深刻。数学游戏恰恰能解决这一问题，使学生们在玩耍中动口、动手、动
8、脑，使他们充分发挥自己的观察力和想象力，使抽象的数学知识变得新颖有趣。例如在我们学习四则运算时，很多同学花了很多时间背加法、乘法表，往往效果还是不好。而我们在教学时，如果利用第二课堂时间让学生们玩 24 点游戏，这无疑使学生们在游戏的同时促进了自己对加、减、乘、除运算的熟悉，这将极大促进学生们的观察力和记忆力。 青岛大学本科生毕业论文（设计）41.3 游戏教学能促进学生的思维能力和判断力 在学生学习过程中，思维能力和判断力的培养是学好数学的基础。要注意思维和判断的准确性、敏捷性、灵活性和创造性。而数学恰好为此提供了锻炼的素材。如下面 2题： “数学”为 0 到 9 的 2 个整数，求数学各是多
9、少？其中 12345679数学555555555 一张纸，用剪刀沿直线一次剪去一个角，这张纸还剩下几个角？ 对于第一题，我们得向司马光砸缸一样逆向思维。若简单运用 555555555 除以123456789 来得结果是比较麻烦的。经过仔细观察，可以发现答案最后的个位是 9“学”？5，在乘法计算中，只有 9545，所以可知“数学”45，第二题更是很好的锻炼了学生的创造性思维能力和判断力。这道题因剪法不同可以得到不同的结果，正确答案是五个、四个、三个角都有可能 。1.4 游戏教学培养学生的竞争意识游戏使学生们在游戏的同时产生一定的竞争意识，若某一学生在 24 点游戏中，由于自己对四则运算的不熟悉，
10、经常输给其他同学，那么一定会给他造成一定的心理压力，使他产生紧迫感，促使他要努力学习四则运算来战胜其他对手，这样就使他增强了学习兴趣，熟练掌握了应该掌握的知识。但是我们在这样的情况下要注意时刻了解学生的心理状况，不要使学生产生太大的压力，要正确的引导学生有正确的竞争意识，这样才能取得最好的效果。青岛大学本科生毕业论文（设计）5第二章 图论源于数学游戏的科学图论是一门起源于游戏的科学，它主要起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。当时大多数人都把这个问题当作有趣的娱乐，后来欧拉证明这个问题没有解，并指出这个问题不适用于欧几里得几何。而相反地，这个问题属于位置几何（莱布尼茨首先使用的名称） 。因此，
11、哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它娱乐的价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个新的领域图论。2.1 世界数学难题哥尼斯堡七桥问题图 2.1 哥尼斯堡问题图18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。1727 年在欧拉 20 岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个
12、曾经令许多人困惑的问题。欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于图 2.2 中所画图形的一笔画问题了， 这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七 桥问题”也就解决了。青岛大学本科生毕业论文（设计）6图 2.2 连通图经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶
13、点。如图 2.3 中的、为奇点，、为偶点。图 2.31凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如图 2.4 都是偶点，画的线路可以是：图 2.4青岛大学本科生毕业论文（设计）72凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点） ，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如图 2.5 的线路是：图 2.5下面是由哥尼斯堡七桥问题发展起来的图论2.2 图论的基本概念 图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 定义 1 一个有序二元组(V,
14、 E ) 称为一个图, 记为 G = (V, E ), 其中 V 称为 G 的顶点集, V, 其元素称为顶点或结点, 简称点; E 称为 G 的边集, 其元素称为边 , 它联结 V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.如果 V = v1, v2, , vn是有限非空点集, 则称 G 为有限图或 n 阶图. 如果 E 的每一条边都是无向边, 则称 G 为无向图 (如图 2.6); 如果 E 的每一条边都是有向边, 则称 G 为有向图(如图 2.7); 否则, 称 G 为混合图 . 青岛大学本科生毕业论文（设计）8图 2.6 图 2.7并且常记V = v1
15、, v2, , vn, |V | = n ;E = e1, e2, , em(ek=vivj ) , |E | = m.称点 vi , vj 为边 vivj 的端点. 在有向图中, 称点 vi , vj 分别为边 vivj 的始点和终点. 对于一个图 G = (V, E ), 人们常用图形来表示它, 称其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向. 例如, 设 V = v1 , v2 , v3 , v4, E = v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4, 则 G = (V, E ) 是一个有 4 个顶点和 6 条边的图, G 的图解如图 2.8
16、所示. 图 2.8一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示同一个图 G = (V, E )的图解.其中V = v1 , v2 , v3 , v4,E = v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4. 青岛大学本科生毕业论文（设计）9图 2.8 图 2.9有边连接的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的边称为相邻边. 边和它的端点称为互相关联.常用 d(v)表示图 G 中与顶点 v 关联的边的数目, d(v)称为顶点 v 的度数. 用 N(v)表示图 G 中所有与顶点 v 相邻的顶点的集合. 图 2.10d(v1)= d(v3)= d(v4)=4,d(v2)=2.下面是一个用图论解决的数学游戏问题：一摆渡人欲将一只狼
