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1、利用空间向量证明线面平行问题姚伟力 余姚八中数学组 315430向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。例 1 、 （2004 年天津）在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面ABCD，PD=DC ，E 是 PC 的中点。证明： PA/平面 EDB。YGE
2、BAD CPXZ证明：如图所示建立空间直角坐标系 D 为坐标原点，设 DC=a，连结 AC，AC 交 BD 于G，连结 EG。依题意得 A（a，0，0） ，P （ 0，0，a） ，E（0， ， ） 。 底面 ABCD 是正方形，2aG 是此正方形的中心，则点 G 的坐标为（ ， ，0） ， =（a ，0，-a） ，PA=（ ，0 ，- ） =2 ， P EG， PA/EG，而 EG 平面 EDB，PAE2平面 EDB， PA/平面 EDB。二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线 L 不在平面 内，取直线 L 上的任一非零向量 ，平面 中存在两个不共线向量
3、n， ，若存在唯一的实数对 1， 2，使得 =1 +2 ，则 L/。 ab abLnba证明：由 =1 +2 知 ， 与 共面，因此 /，由直线 L 不在平面 内得到nananL/。例 2 、已知平行四边形 ABCD，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别为PC，PB 的中点；求证： MN/面 PAB。PNMAB CD证明：构造向量 ， ， ， 和 。PB= （ + ）= （ + ）= （ ）M21C21AP21ABPMN/面 PAB例 3、 已知四边形 ABCD 是正方形，S 是平面 ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2 ，SN: NA=2:1，S
4、M:MC=2:1。求证：SB/平面 PMN。O CABDS PMNX YZ证明：如图，连结 AC 与 BD 交于 O，连结 SO，易证 SO 平面 ABCD ，由四边形ABCD 为正方形知 BD AC，如图建立空间直角坐标系 O-XYZ。构造向量 ， 与SBPN，令 BC= ，SO=1，PM2由题目已知可得坐标：O （0，0，0） ，S （0，0，1） ，A（0，-1 ，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，D(-1，0，0)，所以 P（- ，0， ） ，M （0， ， ） ，3231N（0，- ， ） ，则 =（1，0，-1 ） ， =（ ，- ，- ） ， =（ ， ，- ） ，
5、32SBN2所以 = + ，所以 SB/平面 PMN。 SB23PNM三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。例 4 、已知四边形 ABCD 是正方形，S 是平面 ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2 ，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB/平面 PMN。O CABDS PMNX YZ证明：从例 3 可知 =（1，0，-1 ） ， =（ ，- ，- ） ， =（ ， ，-SP312P312） ，由 ， 可得到平面 PMN 的法向量 =（-1， 0，1） ，则 =0，所以31PNMnSBnS，得到 SB/平面 PMN。n从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间问题，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。
