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1、 海 南 师 范 大 学目 录第一章. 绪论1.1 引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11.2 范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式 1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3 范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2 范德蒙行列式在求解 n 阶 k 循环行列式中的应用2.3 范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中
2、的应用2.4 范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5 范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6 范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致 谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南 指导教师：黄晓芬 博士 摘 要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。该 n 阶行列式是 Vandermonde 行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。范德蒙行列式的应用十
3、分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang Xiaofen Abstract: The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant
4、of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces and linear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed a unique and beautiful appearance, but also because it has a b
5、road application prospect, thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. Vandermonde determinant application is more extensive, not only applied to some determinant calculation, and
6、it can also prove that the determinant of some problem and some certificates and some of the characteristics about the polynomial vector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theory of polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, van
7、dermonde determinant, infinitesimal calculus,theory of polynomial第一章.绪论1.1 引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。行列式最早出现在 16 世纪线性方程组的求解过程中，到今天，行列式已经被广泛的应用，正确快速的解决行列式的问题是其他一切工作的基础。行列式是线性代数的主要内容之一，它是主要决定线性代数的因素，这是在线性方程，矩阵，向量空间和线性变换的后续过程的基础上，具有一个非常重要的作用。该 n 阶行列式是 Vandermonde 行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，
8、而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。典型的行列式定理及数学归纳法的综合应用将在它的证明中充分体现。1.2 范德蒙行列式的证明定义：行列式称为 n 级范德蒙行列式。1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式文献： 王萼芳,石生明.高等代数【M】.北京：高等教育出版社,2013:80-82.1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1.若将范德蒙行列式 逆时针旋转 可得:2.若将范德蒙行列3.若将范德蒙行列式第 2 章.范德蒙行列式的应用2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用我们可以根据行列式的性质，从而简化行列式的计算。但对
9、于一些特殊结构，可以考虑使用一些特殊的方法。下面以 n 阶 Vandermonde 行列式为例，我们将解释如何使用 n 阶 Vandermonde 简化行列式的计算。通过（1）式我们可以得知，n 阶行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且方幂的次数从上而下由0 递增至 n-1。利用范德蒙行列式的这种结构特点，我们可以将所给行列式化为范德蒙行列式，然后把结果计算出来。根据给定的决定性成 Vandermonde 行列式的这种结构特征 Vandermonde 行列式，然后使用这个结果来计算。利用范德蒙行列式的性质，我们可以将其简化行列式的计算。1221112()nn ijijnnxxDx 常见的化法有
10、以下几种：根据所给的幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，而且所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，这样的行列式需利用行列式的性质方能（如提取公因式，拆行（列），调换各行（或各列）的次序,等）将行列式化为范德蒙行列式的形式。例1 计算解：由范德蒙行列式的性质3得2.1.1用提取公因式计算行列式例2 计算解： 中每一行的元素都分别是一个数的不同方幂，而且从左到右方幂的次数按递增的顺序排列，然而值得注意的是方幂却不是从0变到n-1，而是从1递升至n，如果提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故.2.1.2 调换各行（或各列）的次序计算行列式例
11、3 计算解：本题中行列式与范德蒙行列式的排列规律恰恰相反，所以通过将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n行，使得 中各列元素的方幂次数自上而下的呈递升排列，总共经过n+(n-1)+(n-2)+ 次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：2.1.3 用拆行（列）计算行列式若 中由两个分行（列）所组成的第i行（列），并且有相同分行（列）被任意相邻两行（列）所包含；且 中的范德蒙行列式是由n个分行（列）组成的，那么将 的第i行（列）乘以 -1加到第（i+1 ）行（列），消除一些分行（列），即可将此化成范德蒙行列式。例4 计算D .解：使得D的第1行
12、乘以-1加到第2行得：再将上述行列式的第2行乘以-1与第3行相加可得：再在新行列式中的第3行乘以-1与第4行相加得：该行列式即为4阶的范德蒙行列式，故D例5. 解： 先从第一行中把公因子 提出来，然后把所得的行列式中的第一行乘以 加到第 行，从而达到可以把第三行所有的常数项消去的效果； 将行列式的第二行中公因子 提出来，然后把所得行列式中第二行乘以 ， 加到第 k行，这样就把第三行以后的所有一次项消去，这样继续下去，最后就可以得到2.1.4 用加边法计算行列式如果每一行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，就可用此方法：例 6.计算 22133121nnnxxD 解：作
13、 阶行列式：1n=1222133312nnnnzxxDzxx 1()()i jkilkjnzx由所作行列式可知 的系数为 ，而由上式可知 的系数为：z211()()()nn jkijklx通过比较系数得： 121()()njkijklDxx2.1.5 拉普拉斯展开法计算行列式运用公式 = 来计算行列式的值：D12nMAA例 7. 计算 11221100100nnnnxxyyDxxyy 解： 取第 1，3， 2 行，第 1，3， 列展开得： n2=1111222211nnnnnnxyD ()jijijilxy2.2 范德蒙行列式在求解 n 阶 k 循环行列式中的应用证明：循环行列式的值可由下列式
14、子计算：，而 所有的 次单位根.证明：因为 为n个不同的n次单位根，所以被它们构成的n阶范德蒙行列式不等于零，为此作 由行列式的乘法规则可知，D的第i行第j列元素其中规定,故 ，于是因为的第 行第 列的元素，即上面的行列式也与 相等，且原循环列的值等于，由行列式D的形状可知利用本题可得下列两式.2.3 范德蒙行列式在解决多项式的求根问题的应用例 1. 设 若 至少有 个不同的根，则 。01(),nfxccx ()f1n()0fx证明 ：取 为 的 个不同的根，则有齐次线形方程组12,n ()f1 (1)201112201110,nnnncxcxcxcx 其中 看作未知量01,n因为方程组（1）
15、的系数行列式 为范德蒙行列式，并且D所以方程组（1）的解都为 0，从而有()0,jiijnDx即 是零多项式。01,cc ()fx例 2. 设 是数域 F 中互不相同的数， 是数域 F 中任一组给12,na 12,nb定的不全为零的数，则存在唯一的数域 F 上次数小于 n 的多项式 ，使()fx= ，()ifib,证明： 设 由条件 ， 知101(),nfxccx ()iifab1,2（2）10122101,nnnaccb 因为 互不相同，所以方程组（2）的系数行列式1,na 211212()0njiijnnnaaDa 则方程组（2）有唯一解，即唯一的次数小于 的多项式 101(),nfxccx使得 ，()iifab1,2n例 3.设多项式 ， 12() ,nppfxaxax ,12,i n ,ijp，则 不可能有非零且重数大于 的根。,ij 证明 ：反设 是 的重数大于 的根，则 =0，0()fx1n()f()0,f 进而 即(1)0,n
