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1、概率论与数理统计总复习,一、内容提要二、典型例题,随机试验,可能结果,基本事件Ai,不含任何ei,Ai任何组合,事件A,S,不可能,必然,完备事件组Ai,等概完备事件组,贝努利试验,独立试验 概型,只有两个可能结果,n次重复,等概概型,B由其中m个事件组成公式,（一）概念之间的关系,一、随机变量与概率,1、运算关系,包含： A 则 B,相等： A = B,和：至少有一个发 生 AUB,积：同时发生 AB,A、B不相容,A、B 对立 记为,差： AB,B =SA,（二）事件的关系,除与一般代数式运算相同的法则以外，注意,1）对偶律,2）其他,3）独立性,事件的独立性是由概率定义的；,n个事件的独
2、立性要求,个等式成立。,（三） 解题方法,1、一般概率,1） 利用两种概型,10 古典,20 n重贝努利概型,2） 利用事件间的运算,2、运算法则,化为事件的和,利用对立事件,A、B相互独立,分解到完备组中： 全概公式,利用随机变量及其分布计算。,一般情况,化为事件的积,一般情况,是完备组，,2） 用乘法公式,1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。,3） 用贝叶斯公式,2、条件概率,一实数值X(ei),（一）随机变量的定义,对于随机试验E的每一个可能结果ei,的变量，,则称实数变量X(ei)为一个随机变量，,简记为X。,注意：,1、X 是定义在随机试验结果的集合 ei 上,按试验的不同结果而取
3、不同的值.,取值是随机的.,2、在一定的试验下，,二、随机变量及其分布,都唯一地对应着,因此X的,可以依据我们所关心的结果的,数值特征选取 X 所代表的具体意义。,3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌，,并使用分析的工具。,1、离散型随机变量,随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）,定义,概率分布（分布列） 表示法,称X 为离散型随机变量。,（二）随机变量的分布及性质,公式法,列表法,图示法,性质,定义,对于随机变量X，若存在非负函数,使对任意实数,则称X为连续型随机变量，,的密度.,都有,其图形：,(2) 归一性,(1) 非负性,密度函数的性质,2、连续性随机变量,3、分布函数
4、,为X的分布函数. 记作,设 X是一个随机变量，称,定义1,分布函数的性质,1、单调不减性：,3、右连续性：对任意实数 x，,2、归一 性：,若 x1x2, 则 F (x1) F (x2);,对任意实数x， 0 F(x) 1，且,1）分布函数,的值表示了X落在,2）离散型： 若,分布函数的几点说明,是一个普通的函数，,内的概率。,由于,是X 取,的诸值,的概率之和，故又称,为累积概率函数.,图形特点：,是一条有跳跃的上升,阶梯形曲线。,3） X为连续性随机变量,在,3）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性）,1、问题：若,之间的事件等价关系。,关系和分布函数关系。,是随机变量，,表述出来
5、。,其中,已知X 的分布，求,的分布。,2、基本方法,4、随机变量函数的分布,是 x的函数。,研究,1）由,2）由,之间的事件的关系再求,之间的分布,3、具体讨论,则,当,若X的分布列,当,则,1） 离散型,其他,及有关函数表述出来。,求,其为等价的事件,将,用,利用,求出Y的密度函数。,2） 连续性,设 X是一个取值于区间,具有概率密度,的连续型随机变量，,性质：,（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数,定义,对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量（X,Y)的分布函数,的联合分布函数。,或称为X和Y,三、二维随机变量及其分布,2.,且,是变量,的不减函数，即,（二）离散型,的所有可能取值
6、为,设,则,和Y的联合分布列。,称为二维随机变量,的分布列，,或随机变量X,（非负性）,（归一性）,二维离散型随机变量的联合分布列,关于X的边缘分布,（X,Y )的边缘分布,设,的分布列为 :,分别记,(三）连续型,总有,的联合概率密度。,其具有以下性质：,定义4 设二维随机变量,的分布函数为,，对任意实数,为,的概率密度，或称为随机变量,和,对于非负可积的函数,（非负性）,（归一性）,为关于X 和Y 的边缘概率密度。,定理 设,则,分别是,边缘概率密度,均有,两个随机变量的独立性,若二维随机变量,对任意的实数,成立，则称随机变量,与,是相互独立的。,若记,且,成立，,可见X，Y 相互独立的定
7、义与两个事件相互,独立的定义是一致的。,判断X，Y 相互独立的办法：,其的概率密度为,的边缘概率密度分别为,四、随机变量的数字特征,（一）数学期望 E X,定义,X为离散型,X为连续型,若,X为离散型,X为连续型,X为离散型其分布列为,X为连续型其密度函数为,若 （X,Y ) 有联合密度,期望的性质,其中 C 为常数。,2. 对于任何常数,及 b.,3. 若,相互独立， 则,定义,计算公式,（二）方差,X为离散型其分布列为,X为连续型其密度函数为,X为离散型,X为连续型,其中 k 为常数。,3. 对于任何常数,及 b.,相互独立， 则,方差的性质,均匀分布,泊松分布,二项分布,0-1分布,参数
8、范围,方差,均值,概率分布,名称,(四)常用的六个分布,指数分布,标准正态分布,参数范围,方差,均值,概率分布,名称,(四)常用的六个分布,正态分布,任意,称为标准化的随机变量，有,2、正态分布随机变量函数的标准化.,表可查。,注意,COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),若随机变量 X, Y 为离散型.,若随机变量 X, Y 为连续型.,协方差,相关系数,COV( X,Y )E( XY ) EXEY,一般计算公式,COV( X,Y )E(XY) EXEY,可见，,存在的必要条件为,COV( X,Y ) 0 .,即,定义： 若,可见，若X与Y 独立，,称X与Y不相关。,D(X
9、士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ),D(X士Y) = D X + DY,即,1. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；,3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常数；,4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).,二、协方差与相关系数的性质,2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；,COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),5.,2）,3）,4）,1）相关系数,则称X与Y不相关；,四个等价命题：,或,（一） 切比雪夫不等式,五、大数定理与中心极限定
10、理,设,对任意,不等式,成立，,则称此式为切比雪夫不等式,切比雪夫大数定律,独立同分布下的大数定律,贝努里大数定律,之和总可以近似服从正态分布.,（二）独立同分布下的中心极限定理,设X1,X2, Xn , 相互独立，,且服从同一分布，,具有相同的期望和方差,则,此定理表明，无论,原来服从什么,分布，,当n 充分大时，,即,（三）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,设随机变量,此定理的常用公式有：,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的
11、概率为90%。求这人能通过考核的概率。,39,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,亦可：,典型例题,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率 为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,40,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,41,例3：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：,42,例：,解：,例：,解：,例 设随机变量 的概率密度为,（1）确定常数 ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求,解：（1）由 得,所以：,（2）,（3）,（4）在 的区域 ： 上作直线 ，并记则,例 设二维随机变量(X ，Y )的密度函数为,试求随机变量 Z=X /Y 的密度函数.,例设 是相互独立的随机变量，证明,证：因 故,而 可能取的值为 且 相互独立，故,故：,解,例,惊人的预测,惊人的预测,惊人的预测,惊人的预测,谢谢,
