概率论与数理统计1.3

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1、1.3 概率的定义与运算,对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。,直观定义 事件A 出现的可能性大小.古典定义几何定义统计定义,3.1 概率的定义及其确定方法,概率 对随机事件发生可能性大小的度量,概率的直观定义,次实验中发生的可能性是一样的.,1 、古典概率,古典概率是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:,（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为,样本空间为,设 为样本空间，若 只含有

2、限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数/样本点总数,1 确定概率的古典方法,求概率问题转化为计数。,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反反)此样本空间中的样本点等可能.2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)此样本空间中的样本点不等可能.,注 意,常见模型,1 不返回抽样,2 返回抽样,3 盒子模型,4 配对模型,例将r个球置于n个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特定箱中）,若nr,试求任一箱内的球数均不超过1的概率.

3、,解：先计算样本空间总数,第一个球置于一箱中，共有n种放法;,相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；,1,1,1,1,1,1,1,1,nn n n =,这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点），,nr,再计算事件A所包含的样本点数：,第一个球置于一箱中，共有n种放法;,第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n 1种放法,第r 个球不能放到前r 1个球所在箱，所以只有n r + 1种放法,事件A所包含的样本点数,（同时定义样本点）,由乘法原理，r个球的不同的放法有,事件A,（生日问题）假定每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有 个人（ ），问此 个人中至少有两

4、人生日在同一天的概率为多少？,例,解：,设 表示至少有两人生日在同一天则 表示 每个人的生日全不相同,从而,有意思的是：,显然，人数 时，事件“至少有两人生日在同一天”发生的概率就超过了50%，而当 ，竟达到了97%！因此在研究随机现象时，直觉有时并不可靠！,我们班生日在同一天？,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率.,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,例 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求：恰有2件是次品被

5、抽出的概率.,解法一：设样本点为从100件产品抽出3件的组合,正品 95 件,M件次品,100 件产品,A,总数：,计算A的样本点数分两步：,从5件次品中抽出2件，,从95件正品中抽出1件,N 件产品,次品 5 件,次品 M 件,正品 N-M 件,这是一种无放回抽样情形，有放回抽样时P(A)=？,2、 几何概率,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法几何方法。,2 确定概率的几何方法,若 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S； 落在中

6、的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 (等可能的) 则事件A的概率为: P(A)= SA /S,例 甲、乙两个相约在0到T这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？,解,以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,若以x、y表示平面上点的坐标，而所有可能,到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是：,则所求的概率为：,3、概率的统计定义,在一般情况下，是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性

7、的大小呢 ？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。,设随机事件A在n次实验中发生了r次，则称比值 为这n次实验中事件A发生的频率，即,在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求时 ，,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为:,统计概率。,例 将一枚硬币抛掷 5次、50次、500次, 各做7遍， 观察正面出现的次数及频率.,表明：随着

8、n的增加，事件的频率将呈现出稳定性，稳定于0.5,波动最小,波动较大,历史上的掷硬币试验,稳定于,n 的增大,实验结果与主观一致!,例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的数量和性别统计,实验结果与主观不一致!,例3（数理语言学:英文字母的使用频率）,没有主观结果!,3 确定概率的频率方法,随机试验可大量重复进行.,进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值),用频率的稳定值作为该事件的概率.,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础。数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出

9、所讨论对象的进一步的内容。,二、概率的公理化定义与运算,概率的公理化定义：,设E 是随机试验， 是它的样本空间，对,非负性,规范性,可列(有限)可加性,1933年, kolmogorov 柯尔莫哥洛夫,性质1 P()=0 注：逆不一定成立,该性质用公理3可以证明。,性质3对任一事件A ，有,概率的性质,证明:,则有,性质4 若A、B是事件，且A B,推论 P(AB) = P(A)P(AB).,概率的加法公式,P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),证明,P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),（1）A、B互斥；,（2）,（3）,例 设

10、事件A , B的概率分别为 求下列情况下 的值,例 设P(A) = a，P(B) b，P(AB)=c，试用a, b, c表示下列事件的概率。,例,由德摩根律和对立事件的概率，可得,解：,又由加法定理，,所以,从而,n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n.求 P(A1A2An)用加法公式：,配对模型,P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2 An )=1/n!P(A1A2An)=,赌博中发现，一对骰子掷25次，把赌注押,例 （德梅尔问题） 1654年德梅尔在,到“至少出现一次双六”比把“没有出现双六”,掷25次没有出现双六的概率是,没有出现双六的概率是,解：一对骰子掷一次出现双六的概率是,更有利。,掷25次至少出现一次双六的概率是,没有出现双六”有利。,所以把赌注押到“至少出现一次双六”比“没,