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1、方差分析的效果大小论文方差分析的统计检验力论文：方差分析的统计检验力和效果大小的常用方法比较摘 要：本文对用方差分析统计检验力和效果大小进行估计的几种不同方法作了简要的介绍和比较。关键词：方差分析的效果大小；方差分析的统计检验力1 方差分析的统计检验力和效果大小的含义关于统计检验力（the power of a statistical test）的含义，美国著名心理统计学家 j.cohen 曾指出：“当虚无假设为假时，关于虚无假设的统计检验力是指导致拒绝虚无假设的概率。 ”1关于效果大小（effect size，es）的含义，j.cohen在同一本专著中指出：“当虚无假设为假时，它总是在一定程
2、度上的虚假。效果大小（effect size，es）是指某个特定总体中的某种特殊的非零的数值。这个数值越大，就表明由研究者所处理的研究现象所造成的效果越大 效果大小本身可以被视为是一种参数：当虚无假设为真时，效果大小的值为零；当虚无假设为假时，效果大小为某种非零的值。因此，可以把效果大小视为某种与虚无假设分离程度的指标。 ”1最近几年，我国心理学界也有越来越多的学者注意到这一领域研究成果的重要性并加以介绍和评述：如权朝鲁对“效果量的意义及测定方法”作了简要述评2；胡竹菁曾以平均数差异显著性检验为例，对实验数据进行假设检验后继续对其统计检验力和效果大小进行估计的基本原理和方法作了简要介绍3。甘怡
3、群4、舒华5等也在各自主编的教科书中有专门论述统计检验力的章节。本文拟以单因素和两因素完全随机实验设计的方差分析为例，对方差分析后的统计检验力进行估计的几种不同方法作一简要介绍和比较。在心理统计学中，方差分析（即f 检验）中的虚无假设一般是h0 ：1=0=k ，其备择假设则是指ha ：1 ，2 ，k 不完全相等，方差分析的统计检验力（power of test，即1 ) 的含义与平均数差异显著性检验的统计检验力1 的含义在实质上都是一样的，都是指在虚无假设h0 为假（备择假设ha 为真）时，正确拒绝h0 的概率。方差分析效果大小（effect size）的含义也基本上与z 检验或t 检验的效果
4、大小的含义相同，只不过它反映的是多组实验处理下不同组之间实验效果差异大小的指标。由于 j.cohen 提出的方差分析统计检验力的估计方法需要先计算其效果大小，因此，本文将先介绍方差分析效果大小的估计方法，而后再介绍方差分析统计检验力的估计方法。2 单因素方差分析效果大小的估计目前，学术界对于如何评估方差分析效果大小至少存在两类不同的指标体系：一类以2 作为指标，另一类以粗体小写字母 f 值作指标。j.cohen 认为，可以用2 来作为方差分析效果大小的指标，其计算公式为1：2=ss 组间 ss 总体目前，西方较多学者采用这种方法来估计方差分析的效果大小6-8。我国学者舒华等则认为，可以使用2
5、的平方根即 eta 作为方差分析效果大小的指标，其计算公式为5：=ss 组间 ss 总体 （注：原书的表达形式为：eta=ss 组间 ss 总体 ）第二类以小写字母 f 值作指标体系评估方差分析效果大小的方法包含以下两种：1）有些学者（如甘怡群等）认为，可以用下列公式来计算方差分析的效果大小f 值4：f=fn式中，根号内大写字母f 是该次方差分析后得到的检验统计量，n 是指各组人数相等时每个组的人数，如果各组人数不相等，则需要计算各组人数的调和平均数nh 。2）美国纽约大学的学者 b.h.cohen 认为，用f=fn计算得到的f 值是效果大小的有偏估计，因此采用下列公式来计算方差分析效果大小9
6、：f=k 1kfn这一公式用粗体小写字母 f 来表示方差分析效果大小，以示与f 区别。式中，根号内大写字母f 和小写字母n 的含义与上一公式相同，k 指分组数。在上述两类估计方法中，第一类估计方法是以“实验处理之后各组间平方和在总体平方和中所占的比重”的计算方法为基础，第二类方法则是以f 检验中备择假设分布的期望f 值作为理论基础来评估效果大小的f 值或期望 f 值。j.cohen 指出，这两类估计方法的相互关系是1：f=21 2美国心理统计学家 runyon 等人编写的心理统计一书就用f=21 2 的计算结果作为方差分析效果大小的指标10。j.cohen 认为，当用2 或其平方根 作方差分析
7、效果大小的指标时，2=0.01 时属于小的效果，在2=0.06 时属于中等效果，在2=0.14 时属于大的效果。当用f 值（或期望 f值）作指标时，在f=0.10 时属于小的效果，在f=0.25 时属于中等效果，在f=0.40 时属于大的效果。下面，以一个实例来对上述计算方差分析效果大小的不同方法作一比较。例 1 有人研究了个人表现的反馈类型对其自尊的影响。让 15 名被试参加一项知识测验，每组各 5 名被试。不管被试在测验中的实际表现如何，对积极反馈组，都告诉他们水平很高；对消极反馈组，都告诉他们表现很差；对控制组，不提供任何反馈信息。最后，让所有的被试都参加一个自尊测验，测验总分为 100
8、 分，得到的分数越高，表明自尊越强。实验结果如以表 2 的数据为基础可以计算出上述不同估计方法得到的效果大小的值分别为：由上面的计算结果可知，不同的估计方法得出的方差分析效果大小的结果是不一样的，需要注意的是，两类方法之间由于计算方法所依赖的理论基础不一样，因此所用指标的量纲是不一样的。问题是，在众多的效果大小指标中，我们应该选择哪一个作为对表 1 所述实验数据进行方差分析后的效果大小更为合适呢？我们认为，就理解效果大小这一概念的含义上说，上述以2 作为实验处理后效果大小的指标较易为人所理解，因为2 的含义是 “实验处理之后各组间平方和在总体平方和中所占的比重”1，2 的指标值大，反映实验效果
9、大，2 的指标值小，则反映实验效果小，因此这一指标所反映的效果大小的内涵最容易让人们所理解。就表 1 的实验数据而言，方差分析后用2 的结果作为效果大小的指标说明，在该实验中，总体变异中约有 51%是来自反馈类型的实验处理。由于用2 的结果作效果大小指标的便于理解性，著名的统计软件 spss 就采用2作为该软件“一般线性模型”模块中有关效果大小的指标。将表 1 中的数据输入 spss 运行后，spss 给出的效果大小值是“2=0.51” （注：英文版 spss 给出的结果标为“partial eta squared”；中文版 spss 18.0 给出的结果标为“偏 eta 方” ） ，与上述用
10、2 作为效果大小的指标计算出的结果完全一样。如前所述，j.cohen 认为，当用2 作方差分析效果大小的指标时，在2=0.14 时就属于大的效果。因此，虽然用2 作为方差分析效果大小的估计值在上述各种计算方法的结果中其值最小，但 0.51 的效果大小还是远远大于 0.14，因此有的统计学家认为用2 作为实验处理在总变异中所占比重的估计方法一般会高估实验处理的效果，提出另外一个含义与2 大致相同的指标2 来反映实验处理效果大小，其计算公式为：2=ss 组间(k1)msess 总体+mse还是以表 1 和表 2 的数据为例，将已知数据代入公式后可得：2=ss 组间(k1)msess 总体+mse=
11、448(31)28.67878+28.67=0.43虽然2=0.43 比2=0.51 的值更小，但被认为能更准确地反映反馈类型对被试自尊水平实验中的效果。3 单因素方差分析统计检验力的估计方法方差分析备择假设的期望分布值通常用希腊字母 表示。j.cohen 指出，方差分析统计检验力的计算公式是：=fn其中，小写英文字母 f 值就是效果大小的指标值。求方差分析统计检验力的过程一般是，先求方差分析效果大小，而后或者根据效果大小直接查相应的转换表求统计检验力，或者根据效果大小值求 值后再查相应的转换表求统计检验力。如前所述，由于估计效果大小的方法不同，得出的效果大小的值也就不一样。由此转换的统计检验
12、力也会不一样。目前，根据方差分析效果大小求其统计检验力的方法主要有以下三种：1）当用2 来作为方差分析效果大小的指标时，可以根据2 值，各组人数和分组数直接查相应的换算表求统计检验力1 的值，aron 等的心理统计一书使用的就是这种方法6。以表 1 的数据为例，分组数k=3 的相应换算表有如表 3 所示。如表 1 所示，各组人数是n=6 ，在表 3 中最接近的值是 n=10 那一行，效果大小 2=0.51 ，虽然其值远远大于 2=0.14 ，也只能查最接近的 2=0.14 那一列，结果为对本次实验数据进行方差分析的统计检验力 1- 为 51%。2）当用 f 或者用粗体小写字母 f 值来作为方差
13、分析效果大小的指标时，也可以根据 f 或 f 值，各组人数和分组数直接查相应的换算表求统计检验力1 的值，甘怡群编写的心理与行为科学统计一书使用的就是这种方法4。以表 1 的数据为例，分组数k=3 的相应换算表有如表 4 所示。 例如，由表 1 可知，各组人数是 n=6，在表 4 中最接近的值是 n=10 那一行，通 过表 2 的数据计算的三种 f 或f 值分别为， f=1.14 ，f=0.93 和 f=1.02，虽然效果大小的 f 或 f 值都远大于 f=0.40，也只能查最接近的f=0.40 那一列，由此认为对本次实验方差分析的统计检验力 1- 为 45%。3）根据 j.cohen 提出的
14、=fn 的计算公式计算出 值后，再根据 值，方差分析表中的组内自由度和分组数查相应的换算表求统计检验力1 的值，b.h.cohen 编写的心理统计学详解一书使用的就是这种方法9。以表 1 的数据为例，分组数k=3 的相应换算表有如表 5 所示。通过表 2 的数据可知，组内自由度是 15，在表 5 中最接近的是dfw=16 那一行。将前述五种效果大小的值代入公式后可以得到五个不同的 值，然后根据 值在表 5 中可以查到相应的反映这次方差分析的 5 个不同的统计检验力值：与前面所提众多效果大小指标应选哪一个合适的问题一样，这里也存在着一个在众多的统计检验力指标中选哪一个更为合适的问题。我们认为，对
15、这一问题的回答要注意以下两个方面：一方面，任何一种对方差分析统计检验力的评估结果都只是一个粗略的估计，不存在完全准确的答案，就目前的情况而言，上述各种反映统计检验力的指标都有一定的理论基础，也都有专家在使用，因此，都可以作为方差分析统计检验力的指标来使用，只是在选用某种指标时要清楚其理论基础是什么。另一方面，可以用在我国广为使用的统计软件包上给出的方差分析统计检验力的指标来对上述各种指标作一比较。将表 1 中的数据输入spss（中文版 18.0）后，点击“分析”的下拉菜单中对应的“一般线性模型” ，再点击“单变量(u)”后会出现一个对话框，按正确方式输入“因变量（即自尊水平） ”和“固定因子（即反馈类型） ”后，点击“选项” ，在出现
