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1、线性代数 新教材精彩案例,李尚志 北京航空航天大学,2018/1/5,一、 指导思想,1、主题文学: 永恒主题 = 爱 + 死 ?数学: 重要主题 = 方程+函数微积分: 非线性线性线性代数: 多元一次方程组+多元一次函数组,2018/1/5,空间解析几何 = 3 维线性代数 线性代数 = n 维解析几何空间为体，矩阵为用几何问题矩阵语言描述 矩阵运算解决 几何解方程组几何描述代数语言描述 矩阵运算求解,2、代数几何熔一炉,2018/1/5,几何 PK 代数几何好看不好算代数好算不好看几何代数: 帮助计算代数几何：帮助理解,2018/1/5,内容: 最简单的方程 - 一次方程 最简单的函数 -
2、 一次函数算法少：只有两个(1) 矩阵初等变换，(2) 矩阵乘法。通过初等矩阵相互转化 1 . 5 个,3、线性代数之易,2018/1/5,不怪抽象，不怪学生怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题解方程组只会用中学代入法; 判定方程组解的惟一性不会用线性无关; 算旋转不会用矩阵乘法; 算旋转轴不会用特征向量; 抽象=许多不同事物共同点=难得糊涂=放之四海皆准=无招胜有招,4、线性代数之难:抽象,2018/1/5,学会少量算法，解决大量问题各种问题转化(凌波微步)少量算法无招胜有招如何实现：通过有招学无招积累案例，使用案例案例：阳春白雪下里巴人抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用,5、线性代数之教学
3、任务,博客与视频,http:/ http:/ 比梦更美好, 名师培养了我 数学家的文学故事 数学聊斋, 数学诗选视频: 李尚志访谈:教育人生数学的草根本色 CCTV1见证与亲历:首博诞生记,网上资源,http:/ 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http:/教育部 线性代数(非数学专业)(2006) 高等数学 (2008) (郑志明) 联系办法: ,2018/1/5,数学的神韵 科学出版社 2010.4,新书介绍,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,精品课程网页http:/,2018/1/5,案例1.1 解n元一次方程组,
4、与中学接轨：加减消去法各方程乘常数再相加 = 线性组合原方程组解新方程解原方程解?怎样保证:变形前后互为线性组合!怎样实现:初等变换,高斯消去法。只计算系数:矩阵消元.只用到加减乘除:数域,2018/1/5,案例2.1 方程组惟一解问题,例1.过已知点的多项式函数曲线方程组的解是否惟一:,2018/1/5,方程组惟一解问题,例2.已知电压与各电阻,求各段电流对任意电阻值有惟一解? 物理：yes.代数：方程组总有惟一解吗？,二元一次方程组的几何意义,写成向量形式,惟一解条件: OA,OB 不共线 ,组成平面上一组基,案例2.2 n=2,3的几何解法,用各aj 线性组合 b,何时系数惟一？,案例2
5、.3. n元方程组几何解释,2018/1/5,案例2.4 共线共面概念推广,几何概念难推广，用代数运算描述易推广两向量a,b共线 一个是另一个的实数倍 xa+yb=0 有非零解 (x,y).三向量a,b,c共面 一个是另两个的线性组合推广到 n 维向量线性相关: 有非零解线性无关: 只有零解 若有解必惟一,xa+yb+zc=0 有非零解 (x,y,z),解方程组OB顺时针方向旋直角到 与方程两边作内积消去y，得,是平行四边形OAPB有向面积. 称为二阶行列式。,案例3.1 二阶行列式:几何定义,利用基本性质计算 2 阶行列式,利用基本性质计算：,=,案例3.2 三阶行列式,几何定义：D=a (
6、bc) 平行六面体有向体积,2018/1/5,案例3.3 n阶行列式定义,3阶算法：各列取不同行元素ai,bj,ck相乘再乘d(ijk) =(-1)s. d(ijk)是自然基列向量ei,ej,ek排成的行列式,经s次两列互换为d (123)=1.n 阶行列式 D=排列 经s次对换变成则在 中将1,2,依次往前一步步换到第1,2, 位.则 s = 逆序数,2018/1/5,案例3.4 行列式判定线性无关,方阵A的行列式(n维体积) D 0 各列线性无关方程组Ax=b有惟一解。证明: A 的各列 a1,an 线性相关某列 ai 是其余各列的线性组合将各列aj的lj 倍加到第i列 A的第i列化为零
7、D=0. 可见：D0 各列线性无关. 反过来: D=0 初等行变换化成阶梯形, 最后一行为零 各列线性相关.,2018/1/5,案例3.5 惟一解公式(Crammer),以n=3为例:左边第2列乘-y,第3列乘-z,各加到第1列再提取公因子x,得 xD=D1 x=D1/D.类似可得 y=D2/D, z=D3/D.,案例4.1 秩与维数的惟一性,向量组 A=(a1, am) 的线性组合 B=(b1,bk) . km B 线性相关. 记A的线性组合 b 为乘积形式则(3)k个m维数组Xj线性相关 bj线性相关A,B互为线性组合且线性无关 m=k,案例4.2 矩阵乘法的引入,矩阵 A=(a1, am
8、) 看成列向量组线性组合 a1x1+anxn 写成“行向量”A乘 列向量 XA与矩阵X=(X1, Xk)的乘积: A乘各列AX=A(X1,Xk)=(AX1,AXk)实际上是利用分块运算引入矩阵乘法,案例4.3 矩阵乘法运算律,乘法法则对角阵纯量阵与单位阵,案例4.3 矩阵乘法运算律,分配律 A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y只有一列：合并同类项(2)X,Y有若干列: 逐列比较,案例4.3 矩阵乘法运算律,结合律 (AB)C = A(BC). (AX)l=(a1x1+anxn)l =a1(x1l)+an(xnl)= A(Xl)(AB)L= = A(BL)(AB)Cj=A(BCj),案例4
9、.4 运算律应用例,例1.,例2.求 AB, An.XAX:旋转角a . OP=(x,y)=xe1+ye2OQ=xe2+y(-e1)=(-y,x)OP=(cosa)OP+(sina)OQ,例3. . 求 A10.解.A=lI+ N ,例4. .求 B 使 B10=A解.A=I+ N ,易验证 B 满足要求。,例5.解微分方程组解.通解X= eAtC.eAt由Taylor级数定义.令 ,则 N2 = O,例6.矩阵求逆（解矩阵方程组)解.解方程组 AX=I。按列分块：A(X1,Xn)=(e1,en )分别解 AXj = ej.分别做初等变换（A,ej)-(I,Xj)同时做 (A,e1,en)(I
10、,X1,Xn)即(A,I)(I,X),X=A-1.解 AX=B，(A,B)(I,X).,案例5.1 最小二乘法(1),例1.过三点(3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作直线y=kx+b.解. 解方程组即 ka1+ba2=c.求D与C距离最近.几何解:DC平面p.ATAX=ATc,案例5.2 最小二乘法(2)-内积,例2.过n点(xi,yi)作直线y=kx+b.解.解方程组 ka1+ba2=c,AX=c.a1,a2是n维向量. 内积推广到Rn.仍求距离CD最短.为什么DC平面p?勾股定理: CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc,案例5.3 勾股定理的理由
11、,(a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2对向量 a,b 仍成立: AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC 完全平方公式 = 余弦定理（含勾股定理) 对数组向量 a,b 也成立。,案例5.4 Cauchy不等式,例3.Cauchy不等式的理由. 向量 a=OA,b=OB 夹角q|cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1(a,b)2|a|2|b|2为什么|cosq| 1?直角边|OC| 斜边|OB|OB2-OC2=CB20 .,案例5.5 特征向量的引入,例4.求曲线 x2+2
12、xy+5y2=4围成的面积. 解. 左边配方得 x2+y2=4,所求面积S乘|A|=2变成圆面积4p,S=2p.例5.例4曲线是否被变换XAX拉伸为圆?解. 是否有非零X拉长为 AX=lX? (A-lI)X=0有非零解 X,行列式|A-lI|=0.,案例5.6 图解特征向量,例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆.,案例5.7 利用线性变换引入e,求双曲线围成的面积,案例5.8 实对称方阵的正交相似,例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. 分析.直角坐标变换 X=UY 使Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU.选择正交方阵 U 使 B =diag(l1,l2). 则 AU=UB,A(U1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的两列是 A 的特征向量.,谢谢 ！,
